Gruppenoperation soll transitiv sein

Question

Aufgabe:

Die Gruppe SO $(3, \mathbb{R})=\left\{A \in \mathrm{GL}(3, \mathbb{R}) \mid{ }^{t} A A=E_{3}, \operatorname{det}(A)=1\right\}$ operiert auf der 2-Sphäre $S^{2}=$ $\left\{x={ }^{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid{ }^{t} x x=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ via
$\mathrm{SO}(3, \mathbb{R}) \times S^{2} \rightarrow S^{2} \quad(A, x) \mapsto A x \in \mathbb{R}^{3} .$
(a) Beweisen Sie, dass diese Operation wohldefiniert und transitiv ist.

Problem/Ansatz:

Wohldefiniert habe ich.

Aber ich komme mit der Definition der transitivität nicht weiter. Also Ax=y wobei A aus SO und x,y aus S².

Answer 1

Die Drehgruppe $\operatorname{SO}(3,\mathbb{R})$ operiert transitiv auf der $2$-Sphäre $S^2$, wenn zu je zwei $x,y\in S^2$ gilt, dass ein $D\in\operatorname{SO}(3,\mathbb{R})$ existiert, sodass $Ax=y$.

Man kann das Problem umformulieren: Zeige, dass die Bahn eines Punktes auf $S^2$ die Sphäre selbst ist.

Wähle z. B. $e_1=(1,0,0)\in S^2$. Wenn du eine Drehmatrix $A$ findest, so dass $Ae_1=x$ für alle $x\in S^2$, bist du fertig.

$Ae_1$ spricht gerade die erste Spalte an; der erste Spaltenvektor ist also $x$. Um die restlichen Spalten zu bestimmen, nehme zwei Vektoren auf der Sphäre, die orthogonal zueinander und zu $x$ sind. Das kannst du mit dem Kreuzprodukt bewerkstelligen, nehme erst $e_1\times x$ und normalisiere den Vektor (=> Definition der Drehmatrix), nenne ihn $y$ und nimm dann $x\times y$ normalisiert als letzten Vektor; sagen wir $z$. Du musst dann noch die Determinante auf $+1$ bringen. Es gilt hier erstmal nur $\det(x,y,z)=\pm 1$.

Man kann aber entsprechend immer $x,y,z$ permutieren, so dass entweder $A=(x,y,z)$ oder $A=(x,z,y)$. Du kannst die Matrix auch selbst konstruieren. Das ist quasi ein konstruktiver Beweis.