ich habe folgende Aufgabe auf meinen aktuellen Algebra Übungsblatt, aber hänge seit mehreren Stunden am letzten Schritt der Aufgabe.
"Eine Gruppe G operiere transitiv auf einer Menge X != ∅ mit der Eigenschaft, dass jedes g∈G mindestens einen Fixpunkt hat."
a) Zeigen Sie: Sind G und X endlich, so muss X bereits einelementig sein.
Hinweis: Man verifiziere zunächst G\{1} = ∪ Vereinigung über alle x∈ X von (StabG(x)\{1}) und folgere daraus die Aussage.
G ist ja isomorph zu einer Untergruppe der Symmetrischen Gruppe (Satz von Cayley), weshalb man sich die Elemente aus G als Permutationen vorstellen kann, die auf X operieren. Diese Permutationen sollen mindestens einen Fixpunkt haben, wenn man sie auf X anwendet.
Deshalb ist ja jedes g∈G in der Stabilisatorgruppe mindestens eines x∈X, weshalb die Gleichung oben gilt. Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich daraus die Behauptung folgere, dass X bereits einelementig ist wenn G und X endlich sind.
Ich denke ich muss die Transitivität verwenden, habe aber jz nach bestimmt 1-2 Stunden in denen ich nur an dieser Teilaufgabe hänge noch keine Lösung gefunden.
Es wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
