Vektortransformation

Question

Heyho an alle!

Ich bin im Rahmen einer Übung für Mathematik an der Uni auf folgendes Problem gestoßen: Ich bin was Vektortransformation angeht komplett Ahnungslos und konnte auch mit den diversen Seiten die Google ausgespuckt hat nichts anfangen...

...also seid Ihr gefragt!

Betrachten Sie die Transformation T, die einem Vektor (u1 , u2) (Elemente IR^2) den Vektor (u1+u2 , 0) zuweist. Seien u,v Vektoren im IR^2

a)Zeigen Sie, dass T(u+v) = T(u)+T(v)

b)Beweisen Sie IIT(u)II^2 <= 2IIuII^2

c) Finden Sie einen Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird und einen Vektor, der auf sich selbst abgebildet wird.


, Ich hoffe es gibt jemanden der mir helfen kann!

Gruß Maxquadrat

Answer 1

sei \(u=\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}\in\mathbb R^2\) und \(T=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\in\mathbb R^{2\times2}\). Offensichtlich gilt wie gewünscht \(T\cdot u=\begin{pmatrix}x+z\\0\end{pmatrix}\). Wähle \(x=1\) und \(z=0\). Dann ist \(T\cdot u=u\). Wähle \(x=1\) und \(z=-1\). Dann ist \(T\cdot u=0\). Allgemein gilt \(0\leq(x-z)^2\)$$\Leftrightarrow0\leq x^2-2xz+z^2$$$$\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2\leq 2x^2+2z^2$$$$\Leftrightarrow (x+z)^2\leq 2(x^2+z^2)$$$$\Leftrightarrow\left\Vert\begin{pmatrix}x+z\\0\end{pmatrix}\right\Vert^2\leq2\left\Vert\begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix}\right\Vert^2$$$$\Leftrightarrow\Vert T\cdot u\Vert^2\leq2\Vert u\Vert^2.$$

Comments

Es tut mir leid, ich verseh da nur Bahnhof...und weiß gar nicht welche Zeile zu welcehel Frage gehört...

Ich vermute mal es handelt sich hierbei um b)