Aloha :)
\(\mathbb N\) sind die natürlichen Zahlen \(\{1,2,3,4,5,\ldots\}\)
\(\mathbb Z\) enthält \(\mathbb N\), die Null und alle negativen ganzen Zahlen \(\{-1,-2,-3,-4,\ldots\}\)
\(\mathbb Q\) enthält \(\mathbb Z\) und alle rationalen Zahlen (also alle Brüche).
\(\mathbb R\) enthält \(\mathbb Q\) und alle irrationalen Zahlen.
\(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) enthält nur die irrationalen Zahlen.
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch darstellen, sie haben unendlich viele Nachkommastellen, die keiner Regelmäßigkeit unterliegen.
Rationale Zahlen können auch unendlich viele Nachkommastellen haben, aber dann wiederholt sich die Ziffernfolge am Ende immer wieder. Es gibt also eine Regelmäßigkeit in den Nachkommastellen. Zum Beispiel ist \(\frac{13}{99}=0,013131313\ldots=0,0\overline{13}\).
Damit solltest du die Tabelle nun ausfüllen können:
$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline & \mathbb N & \mathbb Z & \mathbb Q & \mathbb R & \mathbb R\setminus\mathbb Q\\\hline-4 & & X & X & X &\\\hline\\[-2ex]0,\overline{3798}=\frac{422}{1111} & & & X & X &\\\hline\\[-2ex]1\,\frac{7}{12}=\frac{19}{12} & & & X & X\\\hline\\[-2ex]\sqrt[3]{64}=4 & X & X & X & X &\\\hline\\[-2ex]75\%=\frac{75}{100} &&& X & X\\\hline\\[-2ex]5^{-2}=\frac{1}{25} &&& X & X\\\hline\\[-2ex]\pi&&&& X & X\\\hline\\[-2ex]\sqrt{-4}=\pm2i \\\hline\\[-2ex]2^{0,5}=\sqrt2 &&&& X & X\\\hline\\[-2ex]0,\overline 9=1& X & X & X & X &\\\hline\end{array}$$
