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Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=


Problem/Ansatz:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%285%2F%28-1%2B2i%29%29%5Ek%2C+k%3D5+to+10

Dort findet man die Lösung, aber nicht den Weg.

ich komme bis:

Formel: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \)

\( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \sum\limits_{k=0}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=0}^{4}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{11}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) - \( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{5}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) und hier weiß ich nicht wie ich vereinfachen kann/vorgehe

2.Frage: stimmt die formel \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \)   für die aufgabe? oder gibt es eine einfachere Formel?

Ich habe bereits nach so einer frage gesucht aber entweder nichts ähnliches gefunden oder ich hab die rechenschritte nicht nachvollziehen können. wäre schön wenn es jemand gibt der den Rechenweg step für step aufschreiben könnte. Vielen Dank schonmal im Voraus

von

4 Antworten

+1 Daumen

Neben dem Tipp von Spacko ist vielleicht auch eine vorherige

Umformung der Formel sinnvoll:

$$\frac{q^{11}-1}{q-1}-\frac{q^{5}-1}{q-1} =\frac{q^{11}-q^5}{q-1} =q^5*\frac{q^{6}-1}{q-1}$$$$=q^5*(q^5+q^4+q^3+q^2+1)$$

Mit q=-1-2i gibt es

q^2 = -3+4i

q^3=11+2i

q^4 = (q^2)^2 = -7-24i

und das mal q gibt  q^5 = -41+38i

In der Klammer also -40+18i

und das q^5 gibt 956-2258*i

von 270 k 🚀

Vielen Dank für eure Antworten.

wie kann man \( \frac{5}{−1+2i} \) durch −1−2i ersetzen?

warum darf man das mathematisch?

Erweitere mit -1-2i

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Möglicherweise wird's etwas einfacher, wenn \(\dfrac5{-1+2\mathrm i}\)  durch \(-1-2\mathrm i\)  ersetzt wird.

von
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Vielleicht hilft auch noch \( -1 - 2i = -\sqrt{5} \cdot e^{ i \arctan(2) } \)

von 39 k
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Nenner kann man reell machen.
Vorgerechnete Beispiele unter f) Division.

http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.1_Rechnungen_mit_komplexen_Zahlen

Nenner kann man reell machen.

Vorgerechnete Beispiele unter f) Division.

von 162 k 🚀

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