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Aufgabe 10
Schreiben Sie 4.312 4.3 \overline{12} mithilfe einer geometrischen Reihe als Bruch ganzer Zahlen. (Hier steht 4.312 4.3 \overline{12} für die unendliche periodische Dezimalzahl 4.31212121212 4.31212121212 \ldots )

Hinweis: 4.312=4.3+121000+12100000+1210000000+ 4.3 \overline{12}=4.3+\frac{12}{1000}+\frac{12}{100000}+\frac{12}{10000000}+\ldots

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Aloha :)

Der Grenzwert der geometrischen Reihe lautet:n=0qn=11qfu¨q<1()\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1\quad(\ast)Mit seiner Hilfe sollen wir 4,3124,3\overline{12} als Bruch schreiben.

Wir kümmern uns zuerst um die Darstellung von 0,120,\overline{12} als Bruch.0,12=0,121212=12100+1210000+121000000+=12100(1+1100+11002+)\small0,\overline{12}=0,\red{12}\green{12}{\color{blue}12}\ldots=\red{\frac{12}{100}}+\green{\frac{12}{10000}}+{\color{blue}\frac{12}{1000000}}+\ldots=\frac{12}{100}\left(\red{1}+\green{\frac{1}{100}}+{\color{blue}\frac{1}{100^2}}+\ldots\right)Wir erkennen eine geometrische Reihe mit q=1100q=\frac{1}{100}:0,12=12100n=0(1100)n=()12100111100=121001001001=1299=4330,\overline{12}=\frac{12}{100}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{100}\right)^n\stackrel{(\ast)}{=}\frac{12}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{12}{100}\cdot\frac{100}{100-1}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}

Damit können wir 4,3124,3\overline{12} nun als Bruch schreiben:4,312=4,3+1100,12=4310+110433=4333330+4330=14233304,3\overline{12}=4,3+\frac{1}{10}\cdot0,\overline{12}=\frac{43}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{4}{33}=\frac{43\cdot33}{330}+\frac{4}{330}=\frac{1423}{330}

Avatar von 153 k 🚀

Nun noch kürzen.

...=1423/330

:-)

Danke dir..., hab's ergänzt.

Danke, ich hab es jetzt verstanden. Die Farben und Kommentare waren sehr hilfreich. :)

Danke :) nur eine kleine Frage: woher kommt die 1/10 im letzten Schritt? Ansonsten hab ich es verstanden. Die Farben und die Kommentare beim jeden einzelnen Punkt waren sehr hilfreich .

Wir haben oben ermittelt, dass   0,12=433  \;0,\overline{12}=\frac{4}{33}\; gilt.

Dann ist   0,012=110433  \;0,\pink0\overline{12}=\pink{\frac{1}{10}}\cdot\frac{4}{33}\;

Dankee :) hab‘s verstanden.

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q= 1/100

12 kann man ausklammern

Avatar von 39 k
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Nutze den Hinweis und klammere 121000\frac{12}{1000} aus. Dann erhältst du 4.312=4.3+121000(1+1100+110000+ 4.3 \overline{12}=4.3+\frac{12}{1000}(1+\frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\ldots Siehst du die geom. Reihe? Was ist qq?

Avatar von 21 k

nein, leider nicht :/

Wie lautet denn die geometrische Reihe allgemein?

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