Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu a) Hier sind uns die beiden Geradengleichungen direkt gegebene:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad h\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$$
Wenn sich die beiden Geraden in einem Punkt schneiden, muss es ein \(r\) und ein \(s\) geben, für die beide Geradengleichungen denselben Punkt liefern. Wir setzeh daher beide rechte Seiten gleich:
$$\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\quad\text{bzw.}\quad\begin{pmatrix}\green{2+r}\\\red{2+r}\\\blue{2+r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\green{2+2s}\\\red{5-s}\\\blue{2+2s}\end{pmatrix}$$
Das sind 3 Gleichungen für 2 Unbekannte. Die Gleichung für die 1-te Koordinate (grün) ist dieselbe wie die für die 3-te Koordinate (blau). Daher verbleiben uns 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:$$\green{2+r=2+2s}\quad\text{und}\quad\red{2+r=5-s}$$Da die beiden linken Seiten gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein:$$\green{2+2s}=\red{5-s}\implies 3s=3\implies s=1$$Den Parameter \(r\) dazu erhalten wir so:$$\green{2+r=2+2s}\implies r=2s\implies r=2\cdot1\implies r=2$$
Wenn wir \(\,r=2\,\) in die Geradengleichung für \(g\) einsetzen und \(\,s=1\,\) in in die Geradengleichung für \(h\), erhalten wir denselben Punkt, den Schnittpunkt \(\pink{P(4|4|4)}\).
Zur Berechnung des Schnittwinkels \(\varphi\) sind nur die beiden Richtungsvektoren \(\vec u_1=(1;1;1)^T\) und \(\vec u_2=(2;-1;2)^T)\) der beiden Geraden relevant:$$\cos\varphi=\frac{\vec u_1\cdot\vec u_2}{\|\vec u_1\|\cdot\|\vec u_2\|}=\frac{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{2-1+2}{\sqrt3\cdot\sqrt9}=\frac{1}{\sqrt3}$$$$\pink{\varphi}=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx\pink{54,74^\circ}$$
zu b) Hier hast du 2 Punkte von jeder Geraden gegeben, sodass du dir zunächst eine passende Geradengleichung bauen musst:$$A(0|6|0)\;;\;B(0|0|3)\implies \green{g\colon\vec x}=\vec a+r\cdot\overrightarrow{AB}=\green{\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}}$$
Den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) von \(A\) nach \(B\) bekommst du, wenn du von \(A\) nach \(B\) gehst. Dabei ändert sich die x-Koordinate nicht, die y-Koordinate ändert sich um \((-6)\) und die z-Koordinate ändert sich um \((+3)\). Daher ist \(\overrightarrow{AB}=(0;-6;3)^T\).
$$C(4|2|0)\;;\;B(2|2|1)\implies \red{h\colon\vec x}=\vec c+r\cdot\overrightarrow{CD}=\red{\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$$
Nun ist das Vorgehen analog zu Teil (a). Kriegst du das alleine hin?
Zur Kontrolle: \(\green{r=\frac23}\;;\;\red{s=2}\;;\;\pink{P(0|2|2)}\;;\;\varphi=\arccos\left(\frac15\right)\approx78,46^\circ\)
