Zeigen Sie, dass die Geraden g und h sich schneiden, berechnen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Raumgeraden g und h sich schneiden, und berechnen sie den Schnittpunkt S und den Winkel γ

a) g: $\vec{x}$ = $\begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix}$ +r ·$\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$,

h: $\vec{x}$ = $\begin{pmatrix} 2\\5\\2 \end{pmatrix}$ +s·$\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}$.

b) g durch A (0/6/0), B (0/0/3)

h durch C (4/2/0) , D (2/2/1) 
Problem/Ansatz:

Wie löse ich das ?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Hier sind uns die beiden Geradengleichungen direkt gegebene:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad h\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$$

Wenn sich die beiden Geraden in einem Punkt schneiden, muss es ein $r$ und ein $s$ geben, für die beide Geradengleichungen denselben Punkt liefern. Wir setzeh daher beide rechte Seiten gleich:

$$\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\quad\text{bzw.}\quad\begin{pmatrix}\green{2+r}\\\red{2+r}\\\blue{2+r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\green{2+2s}\\\red{5-s}\\\blue{2+2s}\end{pmatrix}$$

Das sind 3 Gleichungen für 2 Unbekannte. Die Gleichung für die 1-te Koordinate (grün) ist dieselbe wie die für die 3-te Koordinate (blau). Daher verbleiben uns 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:$$\green{2+r=2+2s}\quad\text{und}\quad\red{2+r=5-s}$$Da die beiden linken Seiten gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein:$$\green{2+2s}=\red{5-s}\implies 3s=3\implies s=1$$Den Parameter $r$ dazu erhalten wir so:$$\green{2+r=2+2s}\implies r=2s\implies r=2\cdot1\implies r=2$$

Wenn wir $\,r=2\,$ in die Geradengleichung für $g$ einsetzen und $\,s=1\,$ in in die Geradengleichung für $h$, erhalten wir denselben Punkt, den Schnittpunkt $\pink{P(4|4|4)}$.

Zur Berechnung des Schnittwinkels $\varphi$ sind nur die beiden Richtungsvektoren $\vec u_1=(1;1;1)^T$ und $\vec u_2=(2;-1;2)^T)$ der beiden Geraden relevant:$$\cos\varphi=\frac{\vec u_1\cdot\vec u_2}{\|\vec u_1\|\cdot\|\vec u_2\|}=\frac{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{2-1+2}{\sqrt3\cdot\sqrt9}=\frac{1}{\sqrt3}$$$$\pink{\varphi}=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx\pink{54,74^\circ}$$

zu b) Hier hast du 2 Punkte von jeder Geraden gegeben, sodass du dir zunächst eine passende Geradengleichung bauen musst:$$A(0|6|0)\;;\;B(0|0|3)\implies \green{g\colon\vec x}=\vec a+r\cdot\overrightarrow{AB}=\green{\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}}$$

Den Vektor $\overrightarrow{AB}$ von $A$ nach $B$ bekommst du, wenn du von $A$ nach $B$ gehst. Dabei ändert sich die x-Koordinate nicht, die y-Koordinate ändert sich um $(-6)$ und die z-Koordinate ändert sich um $(+3)$. Daher ist $\overrightarrow{AB}=(0;-6;3)^T$.

$$C(4|2|0)\;;\;B(2|2|1)\implies \red{h\colon\vec x}=\vec c+r\cdot\overrightarrow{CD}=\red{\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$$

Nun ist das Vorgehen analog zu Teil (a). Kriegst du das alleine hin?

Zur Kontrolle: $\green{r=\frac23}\;;\;\red{s=2}\;;\;\pink{P(0|2|2)}\;;\;\varphi=\arccos\left(\frac15\right)\approx78,46^\circ$

Answer 2

Setze die Geradengleichungen gleich und löse das auftretende lineare Gleichungssystem (Einsetzungsverfahren, Gauß,...). Bei b) stellst du zunächst die Geradengleichungen auf.

Für den Schnittpunkt setzt du einen der Parameter in die zugehörige Geradengleichung ein.

Der Winkel ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren. Dafür gibt es eine Formel. Der Schnittwinkel ist immer kleiner als 90°. Es kann also sein, dass du bei einem größeren Winkel dann zu 180° ergänzen musst, um den kleineren Winkel zu erhalten.

Comments

Ja ich verstehe sie aber das fällt mir schwer ich habe mir paar Notizen gemacht komme aber nicht weiter

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