Bestimmen Sie alle Nullstellen folgender Polynome

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Nullstellen folgender Polynome auf \( \mathbb{R} \), wobei geratene Nullstellen durch Polynomdivision (ohne Rest) nachgewiesen werden müssen.
(i) \( f(x)=-2 x^{3}+6 x^{2}+8 x \),
(ii) \( f(x)=x^{4}+2 x^{3}-13 x^{2}-14 x+24 \),
(iii) \( f(x)=\left(x^{2}-2\right)^{3}-2 \).

Problem/Ansatz:

(i) und (ii) habe ich rasch bearbeitet, da es recht simpel ist. Leider komme ich bei (iii) nicht weiter. Ich komme schon beim Erraten der Nullstelle ins Grübeln, da bei mir immer ein Rest übrig bleibt. Wahrscheinlich ist es eine Wurzel oder so. :d

Answer 1

\( f(x)=\left(x^{2}-2\right)^{3}-2 = 0  \)

<=>  \( \left(x^{2}-2\right)^{3}=2 \)

<=>  \( x^{2}-2= 2^\frac{1}{3} \)

<=>  \( x^{2}=2+ 2^\frac{1}{3} \)

<=>  \( x=\pm \sqrt{2+ 2^\frac{1}{3} }\)

Graph sieht so aus:  ~plot~ (x^2-2)^3-2 ~plot~

Comments

Warum schreibst du f1(x) ? Es gibt doch nur einen Graphen.

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Das wird bei Plotlux automatisch so gemacht.

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Verstehe, danke.

Der Flux rechnet wohl mit weiteren Ablegern von f(x) nach der Devise:

Seid fruchtbar und mehret euch! :)

Answer 2

iii) f(x) = 0

(x^2-2)^3 = 2

x^2-2 = 2^(1/3)

x^2 = 2^(1/3)+ 2

x= +- (2^(1/3)+ 2)^(1/2)