Bestimmen Sie die Zerlegung von x in p+q

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Matrix
A = (1 3 0 4

     2 1 1 3

     1 0 0 1)

Sei außerdem x = (3, 2, 1, 2)^T. Bestimmen Sie die Zerlegung von x in p+q, wobei p ∈ N (A)
und q ∈ R(A^T). Geben Sie als Ihr Ergebnis den Betrag von q auf drei Stellen kaufmännisch
gerundet an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider gar nicht, was genau ich hier machen muss.

Comments

Was ist denn mit N(A) gemeint, und was mit R(A^T)?

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Achso sorry, mit N(A) ist hier der Nullraum gemeint und mit R(A^T) ist hier der Bildraum gemeint.

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Also musst du wohl zunächst mal den Nullraum der Matrix A und den ausrechnen.

Weißt du nicht, wie DAS geht oder hast du Probleme, mit den erhaltenen Ergebnissen weiterzurechnen?

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Falls ich es richtig verstanden habe, habe ich den Vektor x4 * (-1 , -1, 0, 1) als Nullraum rausgekriegt. Allerdings weiß ich nicht was ich nun machen soll.

Answer 1

Es gilt

$N(A) =R(A^T)^\perp$ und $\mathbb R^4 = N(A) \oplus R(A^T)$ als orthogonale Summe von Unterräumen.

Du kennst schon eine Basis von $N(A)$: $b=\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\0\\1\end{pmatrix}$

Du brauchst also nur noch die orthogonale Projektion von $x$ auf den von $b$ aufgespannten Unterraum berechnen:

$p=\frac 1{|b|^2}(x\cdot b)b = -b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix}$ - bitte selbst nachrechnen.

Dann ergibt sich

$q=x-p = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1\\3\end{pmatrix}$

Comments

Danke, hab es nochmal nachgerechnet. War richtig!

Answer 2

1. Antwortteil gelöscht

Den Betrag eines Vektors rechnest du aus, inem du die Wurzel der Summe aus den quadrierten Komponenten des Vektors ziehst.

Also z.B. |(1 2 3 4)| = sqrt(1²+2²+3²+4²)= sqrt(1+4+9+16)= sqrt(30) ~ 5,748.

Keine Gewähr für meine Antwort.

Comments

Zur Sicherheit: Diese Antwort ist falsch. Man kann nicht einen beliebigen Vektor aus N(A) nehmen. Siehe die Lösung von T

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Alles klar, von orthogonaler Projektion wusste ich bis jetzt nicht.