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Aufgabe:

Betrachten Sie die Matrix
A = (1 3 0 4

     2 1 1 3

     1 0 0 1)

Sei außerdem x = (3, 2, 1, 2)^T. Bestimmen Sie die Zerlegung von x in p+q, wobei p ∈ N (A)
und q ∈ R(A^T). Geben Sie als Ihr Ergebnis den Betrag von q auf drei Stellen kaufmÀnnisch
gerundet an.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider gar nicht, was genau ich hier machen muss.

von

Was ist denn mit N(A) gemeint, und was mit R(A^T)?

Achso sorry, mit N(A) ist hier der Nullraum gemeint und mit R(A^T) ist hier der Bildraum gemeint.

Also musst du wohl zunÀchst mal den Nullraum der Matrix A und den ausrechnen.

Weißt du nicht, wie DAS geht oder hast du Probleme, mit den erhaltenen Ergebnissen weiterzurechnen?

Falls ich es richtig verstanden habe, habe ich den Vektor x4 * (-1 , -1, 0, 1) als Nullraum rausgekriegt. Allerdings weiß ich nicht was ich nun machen soll.

2 Antworten

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Beste Antwort

Es gilt

\(N(A) =R(A^T)^\perp\) und \(\mathbb R^4 = N(A) \oplus R(A^T)\) als orthogonale Summe von UnterrÀumen.

Du kennst schon eine Basis von \(N(A)\): \(b=\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\0\\1\end{pmatrix}\)

Du brauchst also nur noch die orthogonale Projektion von \(x\) auf den von \(b\) aufgespannten Unterraum berechnen:

\(p=\frac 1{|b|^2}(x\cdot b)b = -b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix}\) - bitte selbst nachrechnen.

Dann ergibt sich

\(q=x-p = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1\\3\end{pmatrix}\)

von 8,5 k

Danke, hab es nochmal nachgerechnet. War richtig!

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1. Antwortteil gelöscht

Den Betrag eines Vektors rechnest du aus, inem du die Wurzel der Summe aus den quadrierten Komponenten des Vektors ziehst.

Also z.B. |(1 2 3 4)| = sqrt(1^2+2^2+3^2+4^2)= sqrt(1+4+9+16)= sqrt(30) ~ 5,748.

Keine GewĂ€hr fĂŒr meine Antwort.

von 2,5 k

Zur Sicherheit: Diese Antwort ist falsch. Man kann nicht einen beliebigen Vektor aus N(A) nehmen. Siehe die Lösung von T

Alles klar, von orthogonaler Projektion wusste ich bis jetzt nicht.

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