Zeigen Sie, dass das gedämpfte JacobiVerfahren genau dann konvergiert, wenn 0 \frac{2}{\lambdan} gilt.

Question

Text erkannt:

Sei $D$ der Diagonalanteil einer symmetrisch positiv definiten Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ und $b \in \mathbb{R}^{n}$. Zur Lösung des linearen Gleichungssystems $A x=b$ soll das gedämpfte Jacobi-Verfahren
$x^{(i+1)}=x^{(i)}+\omega D^{-1}\left(b-A x^{(i)}\right)$
angewendet werden.
a) Stellen Sie die Fehlerfortpflanzungsmatrix auf und zeigen Sie, dass alle Eigenwerte von $D^{-1} A$ reell und positiv sind.
b) Seien $\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \ldots \leq \lambda_{n}$ die Eigenwerte von $D^{-1} A$. Zeigen Sie, dass das gedämpfte JacobiVerfahren genau dann konvergiert, wenn $0<\omega<\frac{2}{\lambda_{n}}$ gilt.
c) Bestimmen Sie den optimalen Dämpfungsparameter $\omega_{\text {opt }}$, sodass der Spektralradius der Fehlerfortpflanzungsmatrix minimal wird.