Aloha :)
zu a) Wenn \((\lambda_1=-4)\) ein Eigenwert der Matrix ist, muss eine Lösung der Eigenwert-Gleichung geben:$$\mathbf A\cdot \vec x=\lambda_1\vec x=-4\vec x\quad\implies\quad (\mathbf A+4\cdot\mathbf 1)\cdot\vec x=\vec 0$$Wir bestimmmen den Eigenvektor \(\vec x\) mit dem Gauß-Verfahren:$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline5 & 2 & 1&+5\cdot\text{Zeile 3}\\6 & 3 & 0&+6\cdot\text{Zeile 3}\\-1&-2&3&\cdot(-1)\\\hline0 & -8 & 16&:\,8\\0 & -9 & 18&:\,9\\1 & 2 & -3\\\hline0 & -1 & 2&-\text{Zeile 2}\\0 & -1 & 2&\\1 & 2 & -3&+2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & 0 &\\0 & -1 & 2&\\1 & 0 & 1\\\hline\hline\end{array}$$Wir können folgende Lösung ablesen:$$-x_2+2x_3=0\;\land\;x_1+x_3=0\quad\implies\quad x_2=2x_3\;\land\;x_1=-x_3$$Wir erhalten also einen 1-dimensionalen Lösungsraum bzw. den Eigenvektor \(\vec v_1\):$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_3\\2x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$$
zu b) Wir prüfen, ob \(\vec v_2=(2;3;-2)^T\) ein Eigenvektor ist und bestimmen gleichzeitig den zugehörigen Eigenwert \(\lambda_2\). Dazu multiplizieren wir
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\6 & -1 & 0\\-1 & -2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\12\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-3\\-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\9\\-6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$$\(\vec v_2\) ist also Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_2=3\).
zu c) Die Summe auf der Hauptdiagonalen ist gleich der Summe der Eigenwerte. Das heißt:$$1-1-1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-4+3+\lambda_3\implies-1=-1+\lambda_3\implies\lambda_3=0$$
