Verstehe Umformung nicht richtig

Question

Könnte mir jemand für Doofe erklären, wie folgende Lösung zustande kommt?

Verstehe dabei zwei Dinge nicht:

1. Wie wird aus 1/2^i = (1/2)^i

2. Woher kommt das zusätzliche 1/2 im 2. Schritt vor der Summe?

Text erkannt:

B 4.4 Auf der Ergebnismenge \( \Omega=\mathbf{N}=\{1,2,3, \ldots\} \) sei durch \( \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=\mathrm{P}(\{\mathrm{i}\})=\frac{1}{2^{\mathrm{i}}} \) für \( \mathrm{i}=1,2, \ldots \) eine Wahrscheinlichkeit erklärt.
a) Zeigen Sie, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse \( \mathrm{G} \) : gerade Zahl, U : ungerade Zahl.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Menge derjenigen Zahlen, die durch 3 oder 5 teilbar sind.

Lösung:
a) \( \sum \limits_{\mathrm{i}=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\mathrm{i}}}=\sum \limits_{\mathrm{i}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i}}=\frac{1}{2} \cdot \sum \limits_{\mathrm{k}=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1 \).

Vielen Dank schon einmal für Antworten!

Answer 1

Wie wird aus 1/2ⁱ = (1/2)ⁱ  

Zum Beispiel mit i=3 gibt es 1/(2*2*2) = (1/2)*(1/2)*(1/2)= (1*1*1)/(2*2*2)

Und das stimmt ja.

Woher kommt das zusätzliche 1/2 im 2. Schritt vor der Summe?

Die 2. Summe beginnt ja mit i=1 die nächste mit k=0.

Da ist also bei der vorigen Summe der Faktor 1/2 ausgeklammert worden.

Da werden alle Exponenten um 1 kleiner .

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Gibt es dafür auch eine "Regel"?

Wenn ich in meine Formelsammlung bei den Potenzgesetzen schaue finde ich dazu nichts

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Ich glaube kaum, dass in der Formelsammlung solche trivialen Dinge wie 1^n=1 stehen.

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Jaa, da bin ich nicht drauf gekommen.. Macht sinn ^^

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Wie wird aus 1/2i = (1/2)i  

Zum Beispiel mit i=3 gibt es 1/(2*2*2) = (1/2)*(1/2)*(1/2)= (1*1*1)/(2*2*2)

Und das stimmt ja.

Das ist mathematisch aber sehr schlechter Stil und vor allem kein Beweis!

Das folgt logischerweise aus den Potenzgesetzen.

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Geklärtt...........

Answer 2

1. Wie wird aus 1/2ⁱ = (1/2)ⁱ

Weil 1=1^i gilt und weil a^i/b^i =(a/b)^i ist.

2. Woher kommt das zusätzliche 1/2 im 2. Schritt vor der Summe?

Es wurde eine Indexverschiebung vom Startwert 1 auf den Startwert 0 vorgenommen.

Dabei gilt nun mal

\( \sum \limits_{\mathrm{i}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i}}= \sum \limits_{\mathrm{i}=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i+1}}=\frac{1}{2} \cdot \sum \limits_{\mathrm{i}=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i}} \).

In der Lösung wurde nur unnötigerweise i plötzlich in k unbenannt.

Comments

Vielen Dank!

"Weil 1=1i gilt "

Der Gedanke hat mir gefehlt.

Okay das mit der Indexverschiebung muss ich mir nochmal anschauen

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Okay das mit der Indexverschiebung muss ich mir nochmal anschauen

Gute Idee.

Auf die Schnelle ist schon mal hilfreich, jeweils die ersten 3 Summanden aus

\( \sum \limits_{\mathrm{i}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i}} \)

und \(\sum \limits_{\mathrm{i}=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{i+1}} \)

zu vergleichen.