Funktionssynthese: Funktionsgleichung 3. Grades

Question

Gegeben: Wendepunkt (1 | y_w) // Graph berüht Ursprung (0 | 0) // Graph schneidet x-Achse nochmals mit 45°

Es wird eine Funktionsgleichung 3. Grades gesucht.

⇒ f(x) = ax³ + bx² + cx + d

 

Wir haben einen Wendepunkt bei (1 | y_w).

⇒ f''(1) = 0

Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung.

⇒ f(0) = 0 ∧ f'(0) = 0

 

Ich kann somit drei Gleichungen aufstellen. Durch zwei weiß ich, dass c = 0 ∧ d = 0.

Die dritte Gleichung ist 6a + 2b = 0. Nun fehlt mir die vierte bzw. zweite Gleichung, um a und b eindeutig zu ermitteln. Es hat etwas mit der Angabe "der Graph schneidet die x-Achse nochmals unter 45°" zu tun. Was mir dazu einfällt ist:

f'(x_N2) = 1 ∧ f(x_N2) = 0

 

Die gesuchte Lösung habe ich, aber eben nicht die zweite Gleichung. Die Lösung lautet f(x) = (1/9)x³ - (1/3)x²

Vielen Dank für Lösungsansätze.

Answer 1

Hallo

Gegeben:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f ´( x) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b
Wendepunkt (1 | y_w)
f ´´( 1 ) = 0
Graph berührt Ursprung (0 | 0) /
f ( ( 0 ) = 0 => d = 0
f ´ ( 0 ) = 0 => c = 0

Graph schneidet x-Achse nochmals mit 45°
( 1 )  f ( x ) = ax³ + bx²
( 2 )  f ´ (  x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b
f ´´( 1 ) = 0  => 6 * a + 2 * b = 0 
=>  b = -6 * a / 2
b = -3 * a
Das x in ( 1 ) und ( 2 ) muß dasselbe sein
( Sowohl Nullstelle als auch die Steigung ist bekannt  )
ax³ + bx²  = 0
3 * a * x^2 + 2 * b * x = 1
jetzt b = -3 *a in beide Gleichungen einsetzen
und ich habe 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten ( x und a )

Das müßte zur Lösung reichen.

Bin gern weiter behilflich.

  mfg Georg



 

Comments

 In die Richtung hatte ich bereits gedacht, aber zu kurz. :D