Wie findet man den aus zwei Abbildungsmatrizen Informationen über die Basen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind \( { }_{\mathcal{B}^{\prime}} M_{\mathcal{B}}(\mathrm{id})=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \), und Basis \( \mathcal{B}=\left(v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\right) \) für \( \mathbb{R}^{2} \).
a) Erklären Sie, wie Sie aus diesen Informationen die Basis \( \mathcal{B}^{\prime}=\left(w_{1}, w_{2}\right) \) finden können (und demonstrieren Sie Ihre Erklärung, indem Sie die Basis finden).
b) Erklären Sie, wie Sie aus den gegebenen Informationen den Vektor \( v \) (in Standardbasis) aus dem Koordinatenvektor \( { }_{\mathcal{B}^{\prime}}(v)=\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right) \) berechnen können (und demonstrieren Sie Ihre Methode).

Problem/Ansatz:

Hallo an alle,

in dieser Übung verstehe ich leider nicht ganz welchen Ansatz man hier wählen soll um die Aufgabe allgemein zu lösen. Wie findet man den aus zwei Abbildungsmatrizen Informationen über die Basen? Selbiges gilt für Aufgabe b), leider erkenne ich hier nicht den Ansatz und stecke wirklich fest...

Ich freue mich wie immer über jedwede Hilfe!

Comments

Das Ergebnis hängt davon ab, wie das Symbol \( { }_{\mathcal{B}^{\prime}} M_{\mathcal{B}}(\mathrm{id})\) definiert ist:

Basis Ausgangsraum \(\rightarrow \) Basis Zielraum

\(\mathcal{B}^{\prime} \rightarrow \mathcal{B}\)

oder

\(\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{B}^{\prime}\)

Wäre gut, wenn du das noch dazuschreiben kannst.

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Das Ergebnis hängt davon ab, wie das Symbol \( { }_{\mathcal{B}^{\prime}} M_{\mathcal{B}}(\mathrm{id})\) definiert ist:

Diese Frage ist die eigenliche Kernfrage! Der Rest ist geschenkt ...

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Guten Abend, die hier abgebildete Matrix ist eine Koordinatenwechselmatrix welche den Übergang von der Basis B zu der Basis B Strich darstellen soll.

Answer 1

In der Abbildungsmatrix stehen in den Spalten immer die

Koeffizienten bezogen auf die Basis B im Bildraum,

mit denen man die Bilder der Basis B' im Originalraum

darstellen kann. (Oder sind hier B und B' umgekehrt gemeint,

dann musst du das ändern.)

Also würde hier gelten \( w_{1} = 1\cdot id(v_1) + 1\cdot id(v_2) =v_1+v_2=\left(\begin{array}{ll}2 \\ 0\end{array} \right) \)

und w₂ entsprechend.