Geordnete Basen und Abbildungsmatrizen finden

Question

Wählen Sie für die folgenden linearen Abbildungen geordnete Basen der beteiligten Räume und geben Sie die Abbildungsmatrizen bezüglich der von Ihnen gewählten Basen an.

a) h : Q^2×2 → Q^2×2 mit h(A) = AM − MA, wobei M = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)

b) h : R[X]_≤3 → R mit h(p) = p(3), wobei R[X]_≤3 der Raum aller Polynome mit Grad höchstens drei ist und p(3) den Wert der zu p gehörenden Polynomfunktion an der Stelle 3 bezeichnet.

c) h : Z⁴₅/⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ⟩ → Z²₅ mit h([x]_∼) =\( \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) x.

d) h : V → V mit h(f) = f ′, wobei V der von den Funktionen sin und cos erzeugte R-Vektorraum ist. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass sin und cos linear unabhängig sind.

e) h : Q(√2) → Q(√2) mit h(x) = (1 + √2)x, wobei Q(√2) als Q-Vektorraum aufzufassen ist.

f) h : R² → R² mit h(x) = Spiegelung von x an der Diagonalen ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)⟩.

Comments

Hallo

das sind 6 aufgaben, die beantwortet dir wahrscheinlich niemand alle und deshalb wohl einfach gar nicht. Welche davon kannst du denn,  die sind ja verschieden schwer.

Dann stell konkrete Fragen und nicht 6 aufgaben ohne Kommentar

Bei a) ist die Basis mit einer 1  nacheinander an den 4 platzen  und 3 Nullen sicher am einfachsten.

Gruß lul

Answer 1

a) Wähle in Start- und Zielraum die Basis:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Und dann berechne für jedes der Basiselemente h(A), also fürs erste

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}  -  \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \)

Dann stelle dieses Ergebnis mit der Basis dar:

\( 0\cdot  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (-3) \cdot  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Die 4 benutzten Faktoren vor den Matrizen bilden die erste

Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix, also

\( \begin{pmatrix} 0 & ? &?&? \\ 2 & ? &?&? \\ -3 & ? &?&?  \\ 0 & ? &?&? \end{pmatrix} \)

Die anderen Spalten bekommst du, wenn du jeweils die entsprechende

Rechnung mit den anderen Matrizen der Basis machst.

Comments

Danke, ich glaube jetzt habe ich es verstanden! Nur beim Beispiel f) bräuchte ich noch etwas Hilfe, ich weiß nämlich nicht, wie man einen Vektor an einer Diagonalen spiegeln kann und weiß deswegen auch nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann.

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Beim Spiegeln an dieser Diagonalen vertauschen sich die

Koordinaten. Aus \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) wird \( \begin{pmatrix} y\\x \end{pmatrix} \).

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Ah, danke für die Antwort!