Direkter Beweis mithilfe vom kleinen Gauß

Question

Problem/Ansatz:

Leider finde ich den Fehler in meinem Beweis ist! Man sollte dies mithilfe des direkten Beweises beweisen. Leider hab ich mich irgendwo verzettelt, sodass die Gleichung nicht ausgeht, obwohl die Aussage eigentlich wahr sein sollte!

Hat jemand eine Idee, wo mein Fehler liegt?

Info: Im zweiten Schritt habe ich den kleinen Gauß verwendet.

Text erkannt:

abe 1
\( \text { Sei } n \in \mathbb{N} . \quad \text { Dann gilt: } \sum \limits_{i=0}^{n}(5+3 i)=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{2} n+5 \)

Beweis: \( A \Rightarrow B \)
\( \begin{aligned} & \sum \limits_{i=0}^{n}(5+3 \cdot i) \\ \Rightarrow & (5+3 \cdot 0)+\sum \limits_{i=1}^{n}(5+3 \cdot 1) \\ \Rightarrow & (5+3 \cdot 0)+\left(5+3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(5+\frac{3 \cdot n(n+1)}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(5+\frac{3 n^{2}+3 n}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(5+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{3}{2} n\right) \\ \Rightarrow & 10+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{3}{2} n \neq \frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{2} n+5 \end{aligned} \)

Answer 1

\( \sum\limits_{i=1}^{n} (5+3i) \) ist NICHT 5+3(\( \frac{n(n+1)}{2} \)), sondern 5n+3(\( \frac{n(n+1)}{2} \)).

Comments

Super jetzt passt es, aber wie kommst du darauf?

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Du hast n mal die Klammer (5+3i)

In jeder dieser Klammern ist der Summand 5 enthalten, insgesamt also n-mal.

Und n mal 5 ist 5n.

Answer 2

Der kleine Gauß hat den ersten Summanden 5 zum letzten Summanden 5+3n addiert und mit der halben Anzahl der n+1 Glieder multipliziert: \( \frac{(5+5+3n)(n+1)}{2} \). Klammern ausmultiplizieren oder auch nicht.

Comments

Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \sum \limits_{i=0}^{n}(5+3 \cdot i) \\ \Rightarrow & (5+3 \cdot 0)+\sum \limits_{i=1}^{n}(5+3 \cdot 1) \\ \Rightarrow & (5+3 \cdot 0)+\left(\frac{(5+5+3 n)(n+1)}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(\frac{40+3 n)(n+1)}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(\frac{10 n+10+3 n^{2}+3 n}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\left(\frac{3 n^{2}+13 n+10}{2}\right) \\ \Rightarrow & 5+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{n}+10 \Rightarrow \frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{n}+15\end{aligned} \)

Komme dann aber trotzdem nicht auf die richtige Form. Jetzt wird mit 15 addiert, statt mit 5 wie es eigentlich sein sollte.

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In der letzten Reihe ist ein Schreibfehler: Es müsste 13/2 n sein. Trotzdem komme ich auf die +15 und nicht auf +5