Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f) und Kern(f)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f) und Kern(f)

V= M22 Element R und sei f: V -> V

F(a b    = (2a  b+c

c d)    …b+c  2d)

In Aufgabe a habe ich gezeigt, dass f: linear ist.

Problem/Ansatz:

Würde hier also das Bild von f als Matrix schreiben:

(2  1  1  0

0  1  1   2)

Dann mit Gauß umformen.

Bild(f) wäre bei mir (2   (0     und Kern(f) (0              und (-1

                         0)    2)                        1                       2

                                                          -1                      0

                                                           0)                    -1)

RIchtig oder Holzweg?

Hoffe ihr könnt meine Matrizen lesen.

VG

Comments

Hallo
nicht nur deine Matrizen sind nicht lesbar, auch was das
F(a b   = (2a b+c

c d)    …b+c 2d)
bedeuten soll entgeht mir. Ebenso das eigenartige statement: V= M22 Element R
Gruß lull

Answer 1

Schalte um von M22 auf $\R^4$, das ändert nichts (Isomorphie) und Du bist in den (hoffentlich) altbekannten Gewässern der normalen Vektorrechnung.

Wir haben dann $f:\R^4\longrightarrow \R^4$ mit

$f(\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}$

Die dabei verwendete Basis von M22 ist die übliche, kannst Du Dir selbst überlegen (wäre mühselig hier hinzuschreiben).

Aus der Abbildungsmatrix kannst Du sofort $Bild(f)$ ablesen ($Bild(f)$ wird aufgespannt von den Spalten) und mit etwas Rechnen kriegst Du auch $kern(f)$. Alles ohne Gauß-Alg usw.

Aus den Spaltenvektoren des $\R^4$ kannst Du leicht wieder zurück zu M22 kommen.

Comments

Danke nudger.

Basis Bild(f)  <2 0 0 0> , <0 1 1 0> <0 0 0 2>

Basis Kern(f) <0 1 -1 0>

Vektoren dann als 4x1 Matrix geschrieben.

Wusste nicht wie ich genau vorgehe bei der Umformung der Abbildung in den R4.   

---

Deine Ergebnisse für kern und bild stimmen. Die zugehörigen Matrizen sind Dir nun auch klar?!

---

also sozusagen die Rücktransformation der Basen von Bild und Kern in den M22? Sprich das was ich als Urbild M22 in die Abbildung f reinschicke?

---

Wie man die Vektoren in Matrizen umschreibt. Du sollst ja bild und kern bez. M22 angeben. Also z.B. entspricht ja

$\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$ der Matrix $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ 

---

Muss ich denn dann bspw, $\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$ umdschreiben in $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ oder in $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ da ja die Abbildung f: nach 2a b+c b+c und 2d abbildet heißt, sprich 2*1

---

Mit der Abbildung $f$ hast Du jetzt gar nichts mehr zu tun. Es geht nur noch um M22 und $\R^4$. Eine Basis von M22 erhält man durch Umschreiben einer Basis von $\R^4$. Mach Dir klar, wie diese Basis aussieht (kannst Du auch an Abbildungsmatrix sehen).

---

Basis Bild(f) = $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$Basis Kern(f) = $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$So? GrußElBurro

---

Ja, genau so.

---

Vielen lieben Dank nudger für deine Hilfe!