Schalte um von M22 auf R4, das ändert nichts (Isomorphie) und Du bist in den (hoffentlich) altbekannten Gewässern der normalen Vektorrechnung.
Wir haben dann f : R4⟶R4 mit
f(⎝⎜⎜⎜⎛abcd⎠⎟⎟⎟⎞)=⎝⎜⎜⎜⎛2000011001100002⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎛abcd⎠⎟⎟⎟⎞
Die dabei verwendete Basis von M22 ist die übliche, kannst Du Dir selbst überlegen (wäre mühselig hier hinzuschreiben).
Aus der Abbildungsmatrix kannst Du sofort Bild(f) ablesen (Bild(f) wird aufgespannt von den Spalten) und mit etwas Rechnen kriegst Du auch kern(f). Alles ohne Gauß-Alg usw.
Aus den Spaltenvektoren des R4 kannst Du leicht wieder zurück zu M22 kommen.