Körper und Ringhomomorphismus

Question

Aufgabe: Wir sagen, dass ein Köper K die Charakteristik 0 hat, wenn der
eindeutige Ringhomomorphismus Z → K injektiv ist. Zeigen Sie, dass für jeden
Körper der Charakteristik 0 genau ein Ringhomomorphismus Q → K existiert
und dass andernfalls kein solcher Homomorphismus existiert.
Hinweis: Es kann hilfreich sein zu beobachten, dass Ringhomomorphismen
invertierbare Elemente auf invertierbare Elemente abbilden.

Answer 1

"dass Ringhomomorphismen
invertierbare Elemente auf invertierbare Elemente abbilden."

Ist ja leicht einzusehen. Sei f:R→S ein Ringhom.

Zeige erst f(1_R) = 1_S .

Und dann :  Sei x∈R invertierbar. Dann existiert y∈R mit x*y=1_R

==>   f(x*y)=f(1_R)

==>  f(x)*f(y)=f(1_R)=1_S  Also ist f(y) das Inverse von f(x) in S.

Nun hast du ja,  dass der eindeutige Ringhomomorphismus f: ℤ → K injektiv ist.

Für den gilt ja f(0)=0_K und f(1)=1_K . Da f injektiv ist, gilt für alle x∈ℤ, dass die f(x)

auch alle paarweise verschieden sind.  Um f zu einem Ringhom. q:ℚ → K

auszubauen, nimmt man erstmal q(x)=f(x) für x∈ℤ und  braucht noch

für alle n≠0 ein Ergebnis für q(1/n) . Damit das mit der Homomorphieeigenschaft

vereinbar ist. Also wähle für n≠0  q(1/n) = f(n)^-1 .

Denn in K besitzt ja jedes von 0 verschiedene Element ein Inverses.

Und f(n)=0 gilt ja nur (Injektivität von f) für n=0.

Zeige, dass das so definierte q ein Ringhom. ist.

Einzigkeit geht wohl dann durch Widerspruchsbeweis.

Und wenn char(K)≠0 ist, also f nicht injektiv, hast du ja in ℤ zwei verschiedene

Elemente m,n mit f(m)=f(n) , also f(m-n)=0 aber m-n≠0 . Also wäre m-n

ein Nullteiler. Das wäre dann auch bei einem Hom q:ℚ → K so.

Im Widerspruch zur Nullteilerfreiheit in einem Körper.