Frage: Wie kann man die Steigung berechnen?

Question

Aufgabe:

Hierbei geht es um die Sekantensteigung und wie man sie zur Tangentensteigung umformt

Problem/Ansatz:

Ich möchte gerne verstehen, was bei dem rot markierten geschieht.

Text erkannt:

Differentialrechnung: Steigung

Der Verlauf eines Funktionsgrafen von $f$ wird wesentlich durch die Steigung charakterisiert.

Frage: Wie kann man die Steigung berechnen?
Beispiel. Wir berechnen die Steigung der Normalparabel $y=x^{2}$ bei $x_{0}=0,5$. $\Rightarrow$
$y(0,5)=0,5^{2}=0,25 \quad \Rightarrow \quad P(0,50,25)$

Zunächst suchen wir uns einen zweiten Punkt

Sekante: Gerade durch $P$ und $Q$. Sekantensteigung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Quelle F. Schonifeld, Folien Analysis

Answer 1

(f(0,5+h)- f(0,5))/h

= (0,25+h+h² -0,25)/ h = 1+h = 1 für h ->0

Comments

Was wird denn bei dem Rot markierten gleichgesetzt ?

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Man kann natürlich auch völlig an der Frage des FS vorbei antworten.

Answer 2

Hallo,

Gesucht ist die Steigung im Punkt $P$. Um diese zu berechnen, wird ein zweiter Punkt $Q$ gewählt, dessen X-Koordinate um $\Delta x$ größer ist als die von $P$. Demnach hat $Q$ die X-Koordinate $Q_x=0,5+\Delta x$.

Der zugehörige Y-Wert ist der Wert der Funktion $y=x^2$ an der Stelle $Q_x$, da $Q$ ja auf dem Graphen der Funktion liegt $$Q_y = (Q_x)^2 = (0,5+\Delta x)^2 = 0,5^2 +\Delta x + \Delta x^2$$Die Steigung $m$ der Sekante wird nun aus dem Verhältnis der Differenzen berechnen:$$\Delta x = Q_x - P_x = \Delta x \\ \Delta y = Q_y - P_y = 0,5^2 +\Delta x + \Delta x^2 - 0,5^2 = \Delta x + \Delta x^2 \\ m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}$$... und nun kannst Du den entstandenen Bruch kürzen.

Was ist dann das Ergebnis, wenn man $\Delta x$ ganz ganz ganz klein macht?

Gruß Werner