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Aufgabe:

Hierbei geht es um die Sekantensteigung und wie man sie zur Tangentensteigung umformt


Problem/Ansatz:

Ich möchte gerne verstehen, was bei dem rot markierten geschieht. IMG_9684.jpeg

Text erkannt:

Differentialrechnung: Steigung

Der Verlauf eines Funktionsgrafen von f f wird wesentlich durch die Steigung charakterisiert.

Frage: Wie kann man die Steigung berechnen?
Beispiel. Wir berechnen die Steigung der Normalparabel y=x2 y=x^{2} bei x0=0,5 x_{0}=0,5 . \Rightarrow
y(0,5)=0,52=0,25P(0,50,25) y(0,5)=0,5^{2}=0,25 \quad \Rightarrow \quad P(0,50,25)

Zunächst suchen wir uns einen zweiten Punkt

Sekante: Gerade durch P P und Q Q . Sekantensteigung:
m=ΔyΔx m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
Quelle F. Schonifeld, Folien Analysis

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(f(0,5+h)- f(0,5))/h

= (0,25+h+h2 -0,25)/ h = 1+h = 1 für h ->0

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Was wird denn bei dem Rot markierten gleichgesetzt ?

Man kann natürlich auch völlig an der Frage des FS vorbei antworten.

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Hallo,

Gesucht ist die Steigung im Punkt PP. Um diese zu berechnen, wird ein zweiter Punkt QQ gewählt, dessen X-Koordinate um Δx\Delta x größer ist als die von PP. Demnach hat QQ die X-Koordinate Qx=0,5+ΔxQ_x=0,5+\Delta x.

Der zugehörige Y-Wert ist der Wert der Funktion y=x2y=x^2 an der Stelle QxQ_x, da QQ ja auf dem Graphen der Funktion liegt Qy=(Qx)2=(0,5+Δx)2=0,52+Δx+Δx2Q_y = (Q_x)^2 = (0,5+\Delta x)^2 = 0,5^2 +\Delta x + \Delta x^2Die Steigung mm der Sekante wird nun aus dem Verhältnis der Differenzen berechnen:Δx=QxPx=ΔxΔy=QyPy=0,52+Δx+Δx20,52=Δx+Δx2m=ΔyΔx=Δx+Δx2Δx\Delta x = Q_x - P_x = \Delta x \\ \Delta y = Q_y - P_y = 0,5^2 +\Delta x + \Delta x^2 - 0,5^2 = \Delta x + \Delta x^2 \\ m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}... und nun kannst Du den entstandenen Bruch kürzen.

Was ist dann das Ergebnis, wenn man Δx\Delta x ganz ganz ganz klein macht?

Gruß Werner

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