Un- /Gleichungen mit unabhängigen Zufallsvariablen.

Question

Guten Tag liebe Community ich habe hier folgende Aufgabe

Aufgabe:

Es seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen mit P(X=n) = P(Y=n)= $\frac{1}{2^{n}}$ ,n∈ℕ

1. Zeigen Sie, dass für jedes n∈ℕ gilt P({X,Y}≤n)=1-$\frac{1}{4^{n}}$

2. Zeigen Sie, dass P(X=Y)=$\frac{1}{3}$

3. Zeigen Sie, dass P(Y>X)=$\frac{1}{3}$

4. Zeigen Sie, dass für jedes k∈ℕ gilt P(X≥kY)=$\frac{2}{2^{k+1}-1}$

Problem/Ansatz:

Irgendwie habe ich hier keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Bisher kannte ich nur solche Ausdrücke der Form P(X=n) also "Wahrscheinlichkeit von Zufallsvariable X nimmt den Wert n an". Aber hier steht ein Ausdruck der Form P(X=Y), also die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zufallsvariablen gleich sein sollen.

Über Erklärungen würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Die Notation $P(X=Y)$ bedeutet ja, dass $X$ und $Y$ gleich sind. Du kannst es also auch schreiben als $P(X=Y)=\sum_nP(X=n,Y=n)\stackrel{Unab.}=\sum_n P(X=n)P(Y=n)=\ldots$.

Bei den anderen Aufgaben macht man ähnliche Überlegungen.

Answer 2

Gegeben seien die Zufallsgrößen X und Y beim Würfeln zweier Würfel. Es gilt hier offensichtlich P(X = n) = P(Y = n) = 1/6 mit n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(X = Y) ist jetzt im Sachkontext die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Würfel die gleiche Augenzahl zeigen. Du wirst nachvollziehen können, dass in diesem Beispiel P(X = Y) = 1/6 gilt.

Analog zu diesem Beispiel rechnet man bei deinem Beispiel:

P(X = Y) = ∑ (n = 1 bis ∞) (1/2ⁿ·1/2ⁿ) = 1/3

Answer 3

P(min{X,Y} ≤ n) = P(X ≤ n, Y ≤ n) = 1 - P(X > n, Y > n)

Mithilfe der geometrischen Reihe, solltest du nun auf das Ergebnis kommen.