i) Sei x∈ℝ. 1. Fall x∈ℚ. Dann ist durch \( x_n=x+\frac{1}{n} \) für alle n∈ℕ
eine Folge in ℚ definiert, die gegen x konvergiert.
Und mit \( y_n=x+\frac{\sqrt{2}}{n} \) eine aus ℝ\ℚ.
2. Fall x∈ℝ\ℚ. Dann sind die \( a_n=x+\frac{1}{n} \) für alle n∈ℕ
die Summe einer irrationalen mit einer rationalen Zahl,
also selber irrational. Damit ist eine Folge in ℝ\ℚ definiert,
die gegen x konvergiert. Und eine Folge rationaler Zahlen etwa durch
die hinter der n-ten Stelle abgeschnittenen
Dezimalbruchentwicklungen von x.
ii) ii) Gegeben seien zwei stetige Funktionen f, g : R → R.
Es gelte f(x) = g(x) fur alle ¨ x ∈ Q.
Sei x∈ℝ. Gemäß Teil i) gibt es eine Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \),
deren Folgenglieder alle in ℚ sind und für die gilt \( \lim\limits_{n\to \infty} a_n = x \)
Also gilt für alle n∈ℕ f(an)=g(an) .
Wegen der Stetigkeit von f und g an der Stelle x also
\( \lim\limits_{n\to \infty} g(a_n) = \lim\limits_{n\to \infty} f(a_n) \)
und auch \( \lim\limits_{n\to \infty} g(a_n) = g(x) \) und \( \lim\limits_{n\to \infty} f(a_n) = f(x) \)
also f(x)=g(x) . q.e.d.
iii) f(x + y) = f(x) + f(y) ==> f(0+0)=f(0)+f(0)
==> f(0) = f(0)+f(0) ==> f(0)=0.
Und dann mit f(1)=a und vollst. Induktion nachweisen f(n)=n*a für
alle n∈ℕ. 0=f(n+(-n)) = f(n) + f(-n) ==> f(-n)=-f(n) . Also hat man die
Gleichung schon mal für n∈ℤ.
Ebenso folgt mit vollst. Induktion für alle n∈ℕ f(n*x)=n*f(x).
Und dann für alle n∈ℕ a = f(1) =f( n* (1/n) ) = n * f(1/n)
==> a/n = f(1/n)) also f(1/n) = a * (1/n) .
Damit überträgst du die Gleichung auf alle x∈ℚ und mit dem Stetigkeitsargument
auf alle x ∈ℝ.
