Wahrscheinlichkeit für Urnenmodell ohne Zurücklegen berechnen

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 100 Kugeln. 20 Kugeln sind rot, 30 gelb und 50 blau. Aus der Urne wird ohne Zurücklegen gezogen.

Es werden nun sechs Kugeln gezogen. Jemand behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau vier rote Kugeln gezogen werden, kann durch [Binomilkoeffizient] (6 4) x 0,2⁴ x 0,8² berechnet werden.“

Begründe, warum diese Behauptung falsch ist, und gib einen richtigen Lösungsansatz an.

Problem/Ansatz:

Dass die Behauptung nur für mit Zurücklegen ist habe ich verstanden. Ich verstehe aber nicht warum der Lösungsansatz nicht (6 4) x 0,2 x 19/99 x 18/98 x 17/97 x (1-16/99) x (1-15/95) ist.

Diesen Ansatz hatte ich in einer Klassenarbeit und wurde als falsch gewertet.

Vielen Dank im voraus!

Comments

$\dfrac{\binom{20}{4}\binom{80}{2}}{\binom{100}{6}}$

Es werden 6 von 100 gezogen. 4 von 20 sollen rot sein, dann sind 2 von den 80 nicht-roten.

Answer 1

Dein Ansatz ist fast richtig. Hier die Korrektur in Blau:

$$\binom 64 \cdot 0.2\cdot \frac{19}{99}\cdot\frac{18}{98}\cdot\frac{17}{97}\cdot \left(1-\frac{16}{\color{blue}96}\right)\cdot\left(1-\frac{{\color{blue}16}}{95}\right)\approx 0.0128$$

Die 99 in deiner Rechnung war wohl eher ein Schreibfehler.

Die 15 in deiner Rechnung ist ein logischer Fehler: Beim Ziehen einer nicht roten Kugel bleibt die Anzahl der noch übrigen roten Kugeln gleich.

Answer 2

Aloha :)

Beim ersten Ziehen beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel $p_1=\frac{20}{100}$. Wenn die gezogene Kugel rot war, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Kugel auch rot ist gleich $p_2=\frac{19}{99}$. Wenn die erste gezogene Kugel nicht rot war, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist $p_2=\frac{20}{99}$. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändert sich bei jeder Ziehung die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Eintreten des gewünschten Ereignisses.

Bei der Binomialverteilung wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Eintreten des gewünschten Ereignisses bei jedem Versuch gleich ist. Daher ist sie für die vorliegende Situation ungeeignet.

Die korrekte Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch folgende Überlegung:$$p=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}$$

Wir ziehen von den 100 Kugeln insgesamt 6. Dafür gibt es $\binom{100}{6}$ Möglichkeiten:$$p=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\binom{100}{6}}$$

Von den 20 roten Kugeln sollen 4 gezogen werden. Dafür gibt es $\binom{20}{4}$ Möglichkeiten. UND

Von den 80 anderen Kugeln sollen 2 gezogen werden. Dafür gibt es $\binom{80}{2}$ Möglichkeiten.

$$p=\frac{\binom{20}{4}\cdot\binom{80}{2}}{\binom{100}{6}}$$

Answer 3

Es handelt sich um die hypergeometr. Verteilung:

(20über4)*(80über2)/(100über6) = 1,28%

oder mit Baumdiagramm:

20/100*19/99*18/98*17/97*80/96*79/95*(6über4) = 1,28%

Deine Lösung verstehe ich nicht.

PS:

https://matheguru.com/stochastik/hypergeometrische-verteilung.html