Rechenweg zur Grenzwertbestimmung

Question

Hallo, kann mir bitte jemand dieses Beispiel erklären?

Text erkannt:

8. Man bestimme $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ und zeige $\lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{x^{k}-\xi^{k}}{x-\xi}=k \xi^{k-1}$ für feste $\xi \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{N}$. Begründen Sie Ihre Antwort!

Comments

1. Erweitere in der Klammer zur 3. binomischen Formel und klammere √x im Nenner aus.

Answer 1

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

$=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

$=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}(x+1-x)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

$=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

$=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+1} = \frac{1}{2}$

Comments

vielen vielen dank, jetzt hab ich es verstanden!! Hast du beim 2. auch eine idee? Das wär echt nett..

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könntest du vielleicht noch erklären wie du auf 0.5 schließt? Was wäre da noch der letzte schritt?

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$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+1} = \frac{1}{2}$

Im Nenner hast du ja $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$. Für x gegen unendlich geht das gegen 1 und dann liefern die Grenzwertsätze $\frac{1}{1+1}= 0,5$.

Und zu $\lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{x^{k}-\xi^{k}}{x-\xi}=k \xi^{k-1}$ betrachte

$x^{k}-\xi^{k} = (x-\xi )( x^{k-1} + x^{k-2}\xi+ x^{k-3}\xi^2 \dots +\xi^{k-1} )$

Die erste Klammer kürzt sich weg und die 2. Klammer liefert für $x \rightarrow \xi$ alles Summanden von Wert $\xi^{k-1}$.

Das sind k Stück. Also gilt $\lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{x^{k}-\xi^{k}}{x-\xi}=k \xi^{k-1}$

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Vielen vielen Dank!!! Kannst du mir noch sagen wie du auf die Schreibweise mit den Klammern gekommen bist? Das wär sehr nett!

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Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln#H%C3%B6here_Potenze…