Zeigen Sie, dass \sin und \cos in x=0 stetig sind

Question

Aufgabe 1 (6+4 Punkte). Auch für Sinus und Kosinus hat man Restgliedabschätzungen, die später in der Vorlesung bewiesen werden: Für alle $x \in \mathbb{R}$ und alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
$\cos (x)=\sum \limits_{k=0}^{N}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}+r_{2 N+2}(x) \quad \text { und } \quad \sin (x)=\sum \limits_{k=0}^{N}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}+r_{2 N+3}(x),$
wobei im Falle $|x| \leq n+1$ gilt
$\left|r_{n+1}(x)\right| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1) !} .$
(a) Zeigen Sie, dass $\sin$ und $\cos$ in $x=0$ stetig sind.
(b) Folgern Sie, dass sin und cos auf ganz $\mathbb{R}$ stetig sind.

Dabei dürfen Sie nur die folgendes Wissen über sin und cos verwenden:

$\cos (x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} \quad \text { und } \quad \sin (x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$
Die beiden obigen Reihen konvergieren absolut
$\cos (-x)=\cos (x) \text { und } \sin (-x)=-\sin (x) \text { für alle } x \in \mathbb{R} .$
$\cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} .$
 $\sin (x+y)=\cos (x) \sin (y)+\sin (x) \cos (y)$ für alle $x, y \in \mathbb{R}$.)
 $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
 $\sin (x) \in[-1,1]$ und $\cos (x) \in[-1,1]$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

Problem/Ansatz:

ich bin hier leider sehr verwirrt, das heißt ich weiß garnicht, wo man überhaupt anfangen soll. Ich habe mal probiert, das Epsilon-Delta-Kriterium zu verwenden, aber da ist kein wirkliches Ergebnis herausgekommen. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben oder die Aufgabe mit mir zusammen bearbeiten? Wäre wirklich super. Vielen Dank :-)

Comments

Hallo

für epsilon das Restglied nehmen

lul

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Ja danke, habs mittlerweile hinbekommen :-)