Grenzwertbestimmung einer Funktion ohne L'Hospital

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie im Existenzfall den folgenden Grenzwert:

\( \lim\limits_{x\to4}  \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{2x - 8} \)

Problem/Ansatz:

Durch einfaches Einsetzen kommt man hier nicht weiter, da der Grenzwert dann "\( \frac{0}{0} \) " beträgt. In diesem Fall würde sich die Regel von de L'Hospital anbieten, jedoch haben wir diese in der Vorlesung noch nicht behandelt und dürfen sie daher (noch) nicht verwenden. Wie kann ich (durch Umformungen oder die Anwendung einer anderen Regel) trotzdem den Grenzwert berechnen?
Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Bei solchen Folgen hilft die 3. bin. Formel:
multipliziere Zähler und Nenner ("erweitern" nennt man das) mit \(\sqrt{1+2x}+3\) und schau, was dann entsteht.

Answer 2

Neben der 3. binomischen Formel sind auch Substitutionen oft eine hilfreiche Technik. Zusätzlich kann es einem dabei gelingen, das Rechnen mit Wurzeln zu umgehen:

Setze \(t =\sqrt{2x+1}\Rightarrow 2x=t^2-1\), dann gilt

$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{2x-8}=\lim_{\color{blue}{t\to 3}}\frac{t-3}{t^2-9} =\lim_{{t\to 3}}\frac{1}{t+3}= \frac 16$$

Comments

Schöne Alternative zur "Standardlösung"

Answer 3

Hier nur eine Lösung, falls du es selber nicht schaffen solltest.

[spoiler]

$$\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{2x-8} \newline = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(\sqrt{2x + 1} - 3) \cdot (\sqrt{2x + 1} + 3)}{(2x-8) \cdot (\sqrt{2x + 1} + 3)} \newline = \lim\limits_{x \to 4} \frac{{2x + 1} - 9}{(2x-8) \cdot (\sqrt{2x + 1} + 3)} \newline = \lim\limits_{x \to 4} \frac{2x - 8}{(2x-8) \cdot (\sqrt{2x + 1} + 3)} \newline = \lim\limits_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{2x + 1} + 3} \newline = \frac{1}{3 + 3} \newline = \frac{1}{6}$$

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Comments

Danke, dies deckt sich mit meiner Lösung.