Bestimme die Dimension des Kerns und des Bildes von A.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die \( (2,2) \)-Matrix A mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -2 & 4 \end{array}\right) \text {. } \)

Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von A.
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Kern}(\mathbf{A}))= \)
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Bild}(\mathbf{A}))= \)

Problem/Ansatz:

Hat mir jemand vielleicht die Lösung für dieses Monster hier? Hab noch nie etwas von KDim(Kern) gehört ?? gerne mit Weg damit ich es verstehen kann oder wenigstens eine erklärung dazu wie man in etwa auf das ergebnis kommt ? Vielen Dank:**

Comments

Wenn du noch NIE etwas davon gehört hast, solltest du ERSTMAL in deine Unterlagen schauen, um davon etwas zu hören!

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante der Matrix ist:$$4\cdot4-(-2)\cdot1=18\ne0$$Daher sind die beiden Spalten-Vektoren linear unabhängig und spannen den \(\mathbb R^2\) vollständig auf.

Die Dimension des Bildes ist daher \(2\). Die Dimension des Kerns ist \(0\), weil nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird.

Comments

Dankee und wirklich sehr gut und knapp erklärt!

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Und vor allem gelöst. ;) Hoffentlich hast du jetzt auch verstanden, was dim, Kern und Bild bedeuten...

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Und vor allem gelöst. ;) Hoffentlich hast du jetzt auch verstanden, was dim, Kern und Bild bedeuten...

Zum Glück hast du das nur bei Tschaka kommentiert. Bei jemand anderem wäre das jetzt schon gelöscht.

Answer 2

Bestimme den Rang der Matrix. Das ist dann die Dimension des Bildes. Bestimme den Kern durch Lösung von \( Ax=0\). Das ist ein LGS. Mache nur eines der Dinge und nutze die Dimensionsformel \( \dim(\ker(A))+\dim(\mathrm{Bild}(A))=n\).