Welcher Wert ist der Variablen a zuzuweisen, damit die Division ohne Rest aufgeht?

Question

Aufgabe:

Welcher Wert ist der Variablen a zuzuweisen, damit die Division ohne Rest aufgeht?

Problem/Ansatz:

(2x⁴ − x³ − 8x² + a x − 3) : (x² + x − 3)

Lösung:

a = 10

Ich weiss leider nicht, wie ich das lösen kann. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Comments

Führe die Polynomdivision durch.

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Ich habe es versucht, bin ich leider nicht weitergekommen.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left(2 x^{4}-x^{3}-8 x^{2}+a x-3\right) \div\left(x^{2}+x-3\right)=2 x^{2}-3 x \\ \frac{2 x^{4}+2 x^{3}-6 x^{2}}{0-3 x^{3}-2 x^{2}+a x-3} \\ \frac{-3 x^{3}-3 x^{2}+9 x-3}{1+x^{2}} \\\end{array} \)

Answer 1

\( \left(2 x^{4}-x^{3}-8 x^{2}+a x-3\right) \div\left(x^{2}+x-3\right)=2 x^{2}-3 x \)

\( 2 x^{4}+2 x^{3}-6 x^{2}\)

-------------------------------------------------------

          \( -3 x^{3}-2 x^{2}+a x-3\)

             \( -3 x^{3}-3 x^{2}+9 x\)

-------------------------------------------------------

                          \(  x^{2}+ (a-9) x-3\)

Damit es weiter geht, muss es im Ergebnis hinter der -3x ja wohl +1 heißen

und damit dann kein Rest bleibt muss a=10 sein.

Answer 2

Rechne weiter und beachte \( ax-9x=(a-9)x \). Komm, das schaffst du!

Answer 3

Alternative mit Koeffizientenvergleich:

\((2x^4 − x^3 − 8x^2 + a x − 3) : (x^2 + x − 3)=rx^2+ s x+ t\)

\((x^2 + x − 3) \cdot (rx^2+ s x+ t)=\)

=\(x^4 \cdot r +  x^3\cdot s + x^2 \cdot t  +  x^3 \cdot r + x^2 \cdot s + x\cdot t − x^2 \cdot 3r- x \cdot3s-3t=\)

=\(x^4 \cdot r +  x^3 \cdot (s +r) + x^2 \cdot (t +  s− 3r) + x \cdot(t - 3s) -3t\)

1.)  \(r=2\)     2.)  \(s +r=-1 \)    3.)  \(t +  s− 3r=-8 \)    4.) \(t - 3s=a\)

1.) ∈ 2.)   \(s +2=-1→ s =-3\)

1.) ∈ 3.)    \(t +  s− 6=-8\)→   \(t +  s=-2 \)  mit \(s =-3\)→  \(t -3=-2\) →  \(t =1  \)                                   4.)\(a= 1 - 3(-3)=10\)