Reihe Konvergenz untersuchen

Question

Text erkannt:

$\sum \limits_{k \geqslant 2} \frac{1}{\sqrt{k^{3}-1}} \quad \sum \limits_{k \geqslant 1} \frac{k^{k}}{(k+1)^{k+1}}$

Aufgabe:

Konvergenzkriterien

Problem/Ansatz:

Ich bin zu blöd um die Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. Bei allen anderen ging es gut aber bei diesen zwei komme ich nicht weiter. Mit Wurzel/Quotienten bekomm ich ne 1, mit Majo/Mino klappt auch nichts und dann bleibt noch Trivial/Leibniz was eh rausfällt. Vielleicht kann einer mal die Kriterien schreiben die zielführend sind dann schau ich selber nochmal.

Danke

Comments

Die Divergenz der zweiten Reihe kann man folgendermaßen zeigen:
$\small\dfrac{(k+1)^{k+1}}{k^k}=\dfrac{(k+1)^k}{k^k}\cdot(k+1)=\left(\dfrac{k+1}k\right)^{\!k}\cdot(k+1)=\left(1+\dfrac1k\right)^{\!k}\cdot(k+1)<\mathrm e\cdot(k+1)$.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst bei der ersten Reihe deinen Ausdruck $\frac{1}{\sqrt{k^3-1}}$ für alle $k\in \N_{\geq 2}$ folgendermaßen nachoben abschätzen:

$$\frac{1}{\sqrt{k^3-1}}\ \leq \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}k^3}}=\frac{2}{k^{\frac{3}{2}}}$$

Was kannst du damit über die erste Reihe aussagen?

Bei der zweiten Reihe kannst du das Wurzelkriterium anwenden. Dort kommt 1 heraus, sodass damit keine Aussage über die Konvergenz über diese Reihe getroffen werden kann.

Man kann aber die Folge der Summanden aus der zweiten Reihe folgendermaßen nach unten abschätzen:

$$\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]=\left(\frac{1}{\frac{k+1}{k}}\right)^k\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]\stackrel{(*)}{\geq } \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{k+1}$$

(*) Die Folge $\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)_{k\in \N_{\geq 1}}$ ist durch 3 nachoben beschränkt.

Welche dir bekannte divergente Reihe käme dir nun jetzt in den Sinn?

Comments

Die Abschätzung ist Quatsch.

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Ja, leider war sie falsch. Habe es angepasst.

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Zeige also konkret zur zweiten Reihe, dass die Folge der Summanden keine Nullfolge bildet.

Wie macht man das?

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Ich habe diesen Teil wieder rausgenommen, weil das (leider) nicht stimmt.

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So, jetzt aber habe ich mal einen funktionierenden Weg für die zweite Reihe hinbekommen.