Basis von V, bezüglich welcher die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3. Aufgabe: (4 Punkte)

Seien $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$ und $f: V \rightarrow V$ ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
(a) Es gibt eine Basis $\mathcal{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}$ von $V$, bezüglich welcher die Matrix von $f$ eine obere Dreiecksmatrix $A$ ist, d.h. $A=\left(a_{i j}\right)$ mit $a_{i j}=0$ für $i>j$.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Comments

Gibt es vielleicht eine Aussage b?

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Vermutlich soll man nicht nur zeigen, dass diese Aussage äquivalent zu sich selbst ist, sondern auch noch zu einer anderen.

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Wo es a) gibt, gibt es mindestens auch ein b).

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ja gibt es.

Text erkannt:

(b) Es gibt Untervektorräume $V_{1} \subseteq V_{2} \subseteq \ldots \subseteq V_{n}$ von $V$ mit $f\left(V_{i}\right) \subseteq V_{i}$ und $\operatorname{dim} V_{i}=i$ für $i=1, \ldots, n$.
(Man nennt eine solche Kette von Untervektorräumen eine vollständige Fahne von $V$.)

Answer 1

(a) ==>  Sei $V_{1}$ der von $\mathbf{v}_1$ erzeugte Unterraum von V.

Wenn $A=\left(a_{i j}\right)$ die Matrix von $f$ bzgl. $\mathcal{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}$

und eine obere Dreiecksmatrix ist,

folgt also  $f(v_1)=a_{1,1}\cdot \mathbf{v}_1$ somit $f\left(V_{1}\right) \subseteq V_{1}$ und $\operatorname{dim} V_{1}=1$

Entsprechend für $V_{2}$ dem von $\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2$ erzeugten Unterraum von V folgt:

$f(v_1)=a_{1,1}\cdot \mathbf{v}_1$ und   $f(v_2)=a_{1,2}\cdot \mathbf{v}_1 + a_{2,2}\cdot \mathbf{v}_1$

somit $f\left(V_{2}\right) \subseteq V_{2}$ und $\operatorname{dim} V_{2}=2$. etc.

Umgekehrt, wenn du so eine vollständige Fahne von $V$ hast, dann wähle als $\mathbf{v}_1$ eine Basis von $V_{1}$  und ergänze diese durch $\mathbf{v}_2$ zu einer Basis von $V_{2}$ etc.

Das geht immer so weiter, wegen der Vorgabe über die Dimensionen und

es entsteht eine obere Dreiecksmatrix weil immer $f\left(V_{i}\right) \subseteq V_{i}$,

also die Bilder der jeweiligen Basisvektoren immer nur durch die vorigen Basisvektoren dargestellt werden.