Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix Q sowie eine obere Dreiecksmatrix T, sodass A=QT.

Question

Sei S ∈ ℂ^nxn eine invertierbare Matrix mit Spalten s1,...,sn und sei e1,...,en Basis von ℂⁿ, die man durch die Anwendung des Orthonormalisierungsverfahrens auf s1,...,sn bekommt.

Sei A die reelle Matrix

(-1  -1  1

  1   3   3

 -1  -1  5)

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix Q sowie eine obere Dreiecksmatrix T, sodass A=QT.

Ich habe bereits das charakteristische Polynom bestimmt, das lautet f(x)=-x³+7x²-12x-8.  Schon bei der Bestimmung der Eigenwerte habe ich hier Probleme, weil ich das ganze ja ohne Taschenrechner machen soll. Wie gehe ich dann in diesem Fall vor?

Anschließend würde ich die Eigenvektoren ausrechnen und diese normieren um die Matrix Q zu erhalten.

Weiter weiß ich, dass folgender Zusammenhang besteht:

Q*(Q~)=id, wobei Q~ die Matrix Q komplex konjugiert und transformiert darstellt.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich denke, du musst die Idee von:

Sei S ∈ ℂ^nxn eine invertierbare Matrix mit Spalten s1,...,sn und sei e1,...,en Basis von ℂⁿ, die man durch die Anwendung des Orthonormalisierungsverfahrens auf s1,...,sn bekommt.

auf die Matrix A anwenden. Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren bekomme ich aus den Spalten von A die

Spalten der Matrix  Q =

-1/√3    1/√6     -1/√2
 1/√3     2/√6         0
-1/√3    1/√6      1/√2

Und um T zu berechnen nimmst du  T = Q^{-1}*A =

-  √3     5/√3          -√3
     0     (2√6 )/3     2√6
     0         0            2√2

Dann gilt in der Tat  A=QT.

Comments

Danke für deine Hilfe ich habe es jetzt verstanden!!