Betrachten Sie den Körper
\(K:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \frac{1}{2}\left(1+z^{2}\right)<x^{2}+y^{2}<2\left(1+z^{2}\right), 0<z<2\right\} .\)
a) Bestimmen Sie das Volumen \( \lambda_{3}(K) \) mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri.
b) Seien \( U:=(1, \infty) \times(-\pi, \pi) \times(0, \infty) \) und \( \Phi: U \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben als
\(\Phi(r, \varphi, s):=\left(s r \cos (\varphi), s r \sin (\varphi), \sqrt{r^{2}-1}\right), \quad 1<r<\infty,-\pi<\varphi<\pi, 0<s<\infty .\)
Bestimmen Sie \( \Phi^{-1}(K) \) und berechnen Sie das Volumen \( \lambda_{3}(K) \) mit Hilfe des Transformationssatzes unter Verwendung der Transformation \( \Phi \). Verwenden Sie ohne Beweis, dass die Abbildung \( \Phi: U \longrightarrow V:=\Phi(U) \) ein \( C^{1} \)-Diffeomorphismus ist mit \( \operatorname{det} \Phi^{\prime}(r, \varphi, s)=-\frac{s r^{3}}{\sqrt{r^{2}-1}} \) for \( (r, \varphi, s) \in U \).
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes unter Verwendung der Transformation \( \Phi \) das Integral
\(\int \limits_{K} x^{2} z \mathrm{~d}(x, y, z) .\)
