beweisen Sie durch 7 teilbar

Question

Zeigen Sie: Für alle $n \geq 1$ ist ${3^{2n+4} - 2^{n-1}}$ durch $7$ teilbar.

Answer 1

Für n=1 hast du $3^6 - 1 = (3^3-1)(3^3+1) = 26*28$ also

durch 7 teilbar, weil 7| 28.

Dann weiter mit vollst. Induktion.

Also weiß man n≥1 und  $7 | {3^{2n+4} - 2^{n-1}}$.

==>  ${3^{2(n+1)+4} - 2^{n}} = {3^{2n+4+2} - 2^{n}} = {9 \cdot 3^{2n+4} - 2 \cdot 2^{n-1}}$

$= {7 \cdot 3^{2n+4} + 2 \cdot 3^{2n+4} - 2 \cdot 2^{n-1}}$

$= {7 \cdot 3^{2n+4} + 2 \cdot (3^{2n+4} - \cdot 2^{n-1})}$

Der erste Summand ist durch 7 teilbar, weil er den Faktor 7 enthält

und der zweite nach Induktionsvoraussetzung. Also ist

auch   ${3^{2(n+1)+4} - 2^{n}}$ durch 7 teilbar. q.e.d.

Comments

Rechne modulo 7 :

3²ⁿ⁺⁴ - 2^n-1 = 81*9ⁿ - 2^n-1 = 729*9^n-1 - 2^n-1 ≡ 1*2^n-1 - 2^n-1 = 0