Zeigen Sie, dass Q, R und S auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Question

Seien $K$ und $L$ zwei Kreise, die sich in genau zwei Punkten $P$ und $Q$ schneiden. Sei $R \in K$, so dass $P R$ ein Durchmesser von $K$ ist, sowie $S \in L$, so dass $P S$ ein Durchmesser von $L$ ist. Zeigen Sie, dass $Q, R$ und $S$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Hinweis: Hier muss ggf. eine Fallunterscheidung für die Lagebeziehung von $R$ und $S$ gemacht werden.

Answer 1

Grobe Beweisidee:

Das Dreieck $QPR$ und das Dreieck $PQS$ haben in $Q$ einen rechten Winkel, da $\overline{PR}$ bzw. $\overline{PS}$ Durchmesser sind (Thaleskreis). Das bedeutet aber, dass die Strecken $\overline{RQ}$ und $\overline{QS}$ die Strecke $\overline{PQ}$ in $Q$ senkrecht schneiden. Daraus folgt, dass die Punkte $R$, $S$ und $Q$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen, nämlich auf jener Senkrechten durch $Q$.

Comments

Kommentar zurückgezogen (Hatte etwas von der (in meiner Lösung auftauchenden) Strecke RS gelesen, in welchem Fall der Begriff "Gerade" oder die in der Aufgabenstellung erwähnte Fallunterscheidung erforderlichgewesen wäre)

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Ich wüsste nicht, warum das eine Relevanz hat. Ob ich nun die Strecken oder die Geraden betrachte, sollte egal sein. Ansonsten darfst du mich da gerne aufklären.

Answer 2

Kreis K: $x^2+y^2=4$

Kreis L: $(x-5)^2+y^2=16$ 

Kreis K:  $f_K(x,y)=x^2+y^2-4$

Kreis L: $f_L(x,y)=x^2-10x+25+y^2-16=x^2-10x+y^2+9$

$f_L(x,y)-f_K(x,y)=-10x+13$

$-10x+13=0$→ $x=1,3$ ist die Gerade durch P und Q

Schnitt mit Kreis K:  $1,3^2+y^2=4$      → $y_Q=1,52$     $y_P=-1,52$

Koordinaten von R:$(-1,3|1,52)$

$M_2(5|0)$

Gerade durch P M_2:$\frac{0-(-1,52)}{5-1,3}=\frac{y-(-1,52)}{x-1,3}$

 $y=0,41x-2,05$

Schnitt mit Kreis   L:   $(x-5)^2+(0,41x-2,05)^2=16$    $x=8,7$

$S(8,7|1,52)$

Q$(1,3|1,52)$   R$(-1,3|1,52)$  S$(8,7|1,52)$

Gemeinsame Gerade $y=1,52$

Comments

Dir ist hoffentlich klar, dass das kein allgemeingültiger Beweis ist und die Antwort damit eigentlich unbrauchbar, oder?

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Da steht : "Zeigen Sie, dass $Q, R$ und $S$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen." Sonst muss es doch beweisen Sie heißen.

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Dein Ernst? Ein konkretes Beispiel tuts da dennoch nicht.

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Zeige doch mal, wie es richtig ist!