Zeigen Sie, dass C ein Untergruppe von (Mat(2, R), +) ist und dass für alle A, B ∈ C gilt:

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Ring Mat(2, R) und die Teilmenge
C := (x −y        mit  x, y ∈ R
      y  x)    
a) Zeigen Sie, dass C ein Untergruppe von (Mat(2, R), +) ist und dass für alle A, B ∈ C gilt:
A · B ∈ C. (Wir sagen hier auch: C ist Unterring von Mat(2, R))
b) Zeigen Sie: C^∗ := C \ {0} ist eine abelsche Untergruppe von GL(2, R).
c) Folgern Sie aus b), dass f : C^∗ → C^∗, A → A² := A·A ein Gruppenhomomorphismus ist und
bestimmen Sie ker(f). Ist f injektiv ?

Hinweis: In b) müssen Sie zunächst zeigen, dass alle A ∈ C^∗ invertierbar sind. Für die Inverse
einer solchen Matrix A kann der Ansatz r · A^t mit r ∈ R nützlich sein.

Problem/Ansatz:

das Thema für mich ist mühsam zu verstehen. Bitte Hilfe brauche ich?

Answer 1

Was ist das genaue Problem? Es sind die Eigenschaften einer Untergruppe nachzuweisen. Das heißt, zeige, dass \(A+B\) die gleiche Struktur wie die Matrix aus \(C\) hat. Das gleiche gilt dann für \(A\cdot B\). Einmal nachrechnen mit \(x\) und \(y\) und feststellen, dass die Struktur dieselbe ist.

Invertierbarkeit kann man auch zeigen, indem man zeigt, dass die Determinante ungleich 0 ist. Das sieht man schnell, wenn man sie einmal berechnet. Und abelsch bedeutet, es gilt \(AB=BA\).

Für den Gruppenhomomorphismus ist \(f(A\cdot B)=f(A)\cdot f(B)\) zu zeigen. Das ist aber einfach, wenn man die Kommutativität aus b) ausnutzt. Im Kern sind alle Elemente enthalten, die durch die Abbildung auf das neutrale Element abgebildet werden (wie sieht das neutrale Element aus?) und wenn sich im Kern nur das neutrale Element selbst befindet, dann ist die Abbildung injektiv.