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Hallo.

Da ich schon seit Ewigkeiten im Internet suche und rein garnichts zu dem Thema finde, hier mal meine Frage:

Kann mir jemand erklären, wie ich die Untergruppenkriterien beweisen soll? Oder halt generell beweisen soll, dass eine Gruppe (z.B. der Kern, wie im Titel genannt) eine Untergruppe einer anderen Gruppe ist?

Ich weiß, dass ich die Untergruppenkriterien beweisen soll, habe aber keine Ahnung, wie ich das machen soll.

Schon mal danke im Voraus

von

Soll f ein Gruppenhomomorphismus sein? Du könntest damit anfangen alles relevante erstmal anzugeben, damit die Frage ein wenig sinnvoller ist :).

Ja, f : G1 → G2 soll ein Gruppenmonomorphismus sein.

Welches Untergruppenkritierum bereitet dir denn Probleme?

Alle. Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich so etwas beweisen soll.

Da ich deine Antwort an sich nicht kommentieren kann, mach ich's hier. Danke :)

1 Antwort

+3 Daumen

ich schreib mal \(f: G \to H\) Gruppenhomomorphismus  von \((G,\circ) \) auf \((H, \bullet)\) (leichter zu unterscheiden).

Die Untergruppeneigenschaften lassen sich direkt aus den Homomorphismus-Eigenschaften von \(f\) und den Gruppeneigenschaften von \(H\) herleiten.

$$ \ker(f) = \{g \in G | f(g) = e_H \}$$

Es dürfte klar sein, dass gilt

$$f(e_G) = e_H \Rightarrow e_G \in \ker(f)$$

aber das brauchen wir nicht, alles was wir zu zeigen brauchen ist:

$$ a,b \in \ker(f) \Rightarrow a \circ b^{-1} \in \ker(f) $$

und das geht zum Beispiel so:

$$ a,b \in \ker(f): f(a\circ b^{-1}) = f(a) \bullet f(b^{-1}) = f(a) \bullet f(b)^{-1} = e_H \bullet e_H^{-1} = e_H \\ \Rightarrow a\circ b^{-1} \in \ker(f) \\ \Rightarrow \ker(f) \subset G \text{ Untergruppe }$$

Mehr ist das nicht

Gruß

von 24 k

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