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Zeigen Sie, dass der Kern eines Homomorphismus Phi:H->G von Gruppen eine Untergruppe Lvon H ist mit folgender zusätzlichen Eigenschaft: Ch(L) c L, für alle h element H.
Solche Gruppen L c H heißen Normalteiler.

Ich komme hier nicht vorran. kann mir jemand einen Tipp geben?
von


was heißt Ch(L)?

MfG

Mister
Dieses h ist kleiner geschrieben und leicht nach unten versetzt, wie z.b wenn man x1 und x2 hat....
Okay, und was heißt dann \( C_h (L) \)?

zuvor wurde noch in einer Aufgabe definiert, dass C: G → G , a ↦ Cg(a) = gag-1 der innere Automorphismus ist, welcher einen Homomorphismus C:G →Aut(G) definiert. 

 

Wahrscheinlich muss man damit irgendwie arbeiten? 

Naja, man kann ja zuerst einmal zeigen, dass der Kern eine Untergruppe ist.
und dann ? :(
sorry ich blicke 0 durch
Dann zeigt man, dass der Kern \( L \) für alle \(h \in H \) abgeschlossen ist bezüglich der Operation \( a h a^{-1} \) für alle \( a \in L \). Das ist gar nicht so schwer.

1 Antwort

+1 Daumen
Hallo nochmal,

also wir können ja zuerst zeigen, dass der Kern \( L \) des Gruppen-Homomorphismus' \( \varphi \) abgeschlossen ist, sprich, die Verknüpfung zweier beliebiger Elemente \( a, b \in L \) wieder in \( L \) liegt:

Wegen \( a, b \in L \) gilt zunächst \( \varphi(a) = e \) und \( \varphi(b) = e \). Für das Produkt von \( a \) und \( b \) gilt vermittels der Gruppen-Homomorphismuseigenschaft von \( \varphi \):

\( \varphi (a \circ b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) = e \cdot e = e \).

Daraus folgt \( a \circ b \in L \). Das neutrale Element ist trivialerweise in \( L \).

Das Inverse Element \( a^{-1} \) eines Elementes \( a \) ist aus folgendem Grund in \( L \):

\( \varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} = e^{-1} = e \).

Dass \( gag^{-1} \in L \) für alle \( g \in H \) und \( a \in L \), ist ebenso leicht zu ersehen:

\( \varphi(gag^{-1}) = \varphi(g)\varphi(a)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot e \cdot \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot \varphi(g^{-1}) \cdot e = e \cdot e = e \).

MfG

Mister

PS: Siehe auch http://de.wikiversity.org/wiki/Gruppenhomomorphismus/Kern_ist_Untergruppe/Fakt_Beweis .
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