Bestimmen Sie 1+2n+22 n \quad \bmod 7

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie
$1+2^{n}+2^{2 n} \quad \bmod 7$
in Abhängigkeit von $n \in \mathbb{N}$.

Problem/Ansatz:

also die einzigen LÖsungen sind 0 und 3 die Modulo 7 rauskommen.

n=0 mod 3 -> das Ergebnis ist 3 in modulo 7

n=1 oder 2 mod 3 -> das Ergebnis ist 0 modulo 7

Muss ich da jetzt noch was beweisen?

Answer 1

Deine Lösung ist richtig.

Für eine vollständige Lösung sollte man aber hinschreiben, dass

$2^3\equiv 1 \: (7)$ und $4^3 \equiv 1 \:(7)$

Deshalb muss man nur $n\equiv 0,1,2 \: (3)$ betrachten.

Dann schreibt man die 3 Rechnungen hin und hat damit eine vollständige Lösung.