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endomorphismus, geordnete basen und abbildungsmatrix

Bild Mathematik

Wie mach ich das? Ich habe leider keine Idee und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann :)


(Geschwungenes M ist eine Abbildungsmatrix)

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Dazu gehst du von der Def. einer Abbildungsmatrix aus, wird wohl etwa so klingen


P= M ( α , B , B )  ist die Abbildungsmatrix des
Endomorphismus  α bzgl. der Basis B = (b1 , b2 , ... , bn ) für Originale und Bilder.

<==>  Für alle x ∈ V mit x = ∑ xibi    und   α(x) =  ∑ yibi     gilt  
                         P * (x1,x2,...xn)T = (y1,y2,...yn)T .

Sei nun also P = M ( α , B , B ) und λ ∈ K und 


Dann bleibt zu zeigen Q :=  λ*In - P ist die Matrix der

Abbildung    f =   λ*idV - a   bzgl. der
Basis B = (b1 , b2 , ... , bn ) für Originale und Bilder.

Sei also  x ∈ V mit x = ∑ xibi   und   f(x)  =  ∑ zibi    
  , dann ist zu zeigen     Q * (x1,x2,...xn)T = (z1,z2,...zn)T .

Das rechnet man einfach nach:

  Q * (x1,x2,...xn)T
= (   λ*In - P )  * (x1,x2,...xn)T

=    ( λ*In ) *  (x1,x2,...xn)T   - P  * (x1,x2,...xn)T

=     λ*  (x1,x2,...xn)T   - P  * (x1,x2,...xn)T

=      (λ*x1,λ*x2,...λ*xn)T   -  (y1,y2,...yn)T

=  (λ*x1-y1, λ*x2-y2, .... λ*xn-yn )T     

Und um zu schauen, ob das wirklich gleich  (z1,z2,...zn)T .

ist, muss man zeigen, dass f(x) =   ∑  (λ*xi-yi)bi    ist.

Dem ist so, weil   ∑  (λ*xi-yi)bi    

=  ∑  (λ*x*bi -   yi*bi  )

=    ∑  (λ*x*bi )  -  ∑( yi*bi  )

= λ*  ∑  (x*bi )  -  ∑( yi*bi  )

=  λ* x  -   a(x)  

=  λ*idV( x)  -   a(x)  

=  (λ*idV -   a)(x)  

  =   f(x) . q.e.d.







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