Zeigen Sie, dass f dann Riemann- integrabel ist.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 55:
Sei f : [a, b] → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie, dass f dann Riemann- integrabel ist.

Comments

Nimm mal an, f sei monoton wachsend. Wie sieht dann eine Riemann-Obersumme und eine Riemann-Untersumme aus?

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Tipp 1: \(f\) ist notwendigerweise beschränkt durch \(f(a),f(b)\) durch die Monotonie und die Abgeschlossenheit des Definitionsbereiches.

Tipp 2: Deine an der Funktion anliegenden Obersummen werden nur kleiner, wenn du die Stützstellen verfeinerst (Warum?). Ähnlich wie mit den Untersummen. Durch Monotonie + Beschränktheit folgt Konvergenz der Ober-/Untersummen.

Wieso müssen Ober-/Untersummen gegeneinander konvergieren? Wie kannst du das argumentieren? Gibt es vielleicht zu einer gegebenen Obersumme eine sehr ähnliche Untersumme, deren Wert nicht weit entfernt ist von der Obersumme?