Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, 1] → R f(x) = 1 falls

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, 1] → R
f(x) =
1 falls x rational
0 falls x irrational
nicht Riemann-integrierbar ist.

Answer 1

Jede geeignete Zerlegung des Intervalls [0;1] erzeugt

Teilintervalle mit positiver Länge. Diese enthalten also

immer mindestens eine rationale und eine irrationale

Zahl. Damit hat man immer Untersummen mit Wert 0

und Obersummen mit Wert 1.

Also hat man auch bei immer feinerer Zerlegung

keinen gemeinsamen Grenzwert der Folgen der

Unter- und Obersummen.

Also f nicht Riemann-integrierbar .