Logische Unformung/ Mengen

Question

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Aufgabe 1 (10 Punkte)
1. Seien \( M, N \) nichtleere Mengen. Zeigen Sie mittels logischer Umformungen:
\( (M \backslash N) \cup N=M \cup N . \)
2. Geben Sie alle Elemente der Menge \( M \) an mit
\( M:=\{z \in \mathbb{Z}:(2 z \equiv 0 \bmod 2) \wedge(-1 \leq z \leq 2)\} \)
3. Zeigen Sie:
\( \forall n \in \mathbb{N}_{0}: 6 \mid\left(2 n^{3}+4 n\right) \)

Answer 1

1. N wird aus M entnommen und anschließend wieder hinzugefügt.

2. 2z≡0 mod 2 gilt für alle ganzen Zahlen. Also M={-1, 0, 1, 2}.

3. 2n³+4n=2·n·(n²+2). Wenn n nicht durch 3 teilbar ist dann ist n²+2durch 3 teilbar. Eine gerade durch 3 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.