Projektionsmatrix aus UVR bestimmen

Question

Zeigen Sie, dass v1 und v2 eine Basis von W bilden, und konstruieren Sie daraus eine Orthonormalbasis(w1,w2)von W.}
Die Spaltenvektoren von Pw sind die Bildvektoren der Standardbasisvektoren unter der Orthogonalprojektion auf W
Bestimme den orthogonalen Projektor P_w von $\mathbb{R}^3$ mit folgender Formel

 $\sum\limits_{j=1}^n<x,w_j>w_j,$

$v_1=\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} und \ v_2=\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}.$
Die Orthonormalbasis der beiden Vektoren habe ich bereits berechnet, diese ist

$w_1=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix} 0\\\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2} \\\end{pmatrix}$
Die erste Spalte der gesuchten Matrix haben ich ebenfalls bestimmt, diese ist

$\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4\\2\\-2 \end{pmatrix}.$

Ich komme bei den letzten beiden Spalten der Matrix nicht mehr weiter

Answer 1

Merkwürdig, wie Du mit dem falschen w₁ auf die richtige 1. Spalte von P kommst.

Die Projektion wird mit der Einheitsbasis

$\small e_j =\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$

durchgeführt (1,0,0)^T hast Du abgehandelt, wie so ist es jetzt ein Problem die beiden anderen für x einzusetzen?

Kontrolle

$\small P \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{-1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{-1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{array}\right)$

Comments

$$w_1=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}$$ ist das nicht richtig für w_1?

Mein Problem beim weiterrechnen ist, dass ich bei der Formel unsicher bin, was ich genau als nächstes berechnen muss. Ich habe ja nur zwei Vektoren gegeben und soll eine 3x3 Matrix bestimmen

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Die Wurzel fehlt oben, jetzt passt es....

Kannst DU oben etwas lesefreundlicher umgestalten?

x∈e_j e₁ hast Du, jetzt noch x=e₂ und x=e₃ oder was hast DU denn gerechnet?

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Kann es oben leider nicht mehr bearbeiten.

Dass ich mit den x arbeiten muss hab ich verstanden, aber muss ich für den zweiten Schritt weiter mit w_1 rechnen oder diesmal mit w_2?

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Jetz versteh ich die Frage nicht - Zeile1 = Spalte 1 hast Du

$<e_{1} w_{1}> w_1 + <e_{1} w_2> w_2\\<e_{2} w_{1}> w_1 + <e_{2} w_2> w_2\\<e_{3} w_{1}> w_1 + <e_{3} w_2> w_2$

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Die Frage hat sich erledigt. Ihre Darstellung der Rechnung im letzten Kommentar hat mir alles klar gemacht und meinen Fehler gezeigt. Danke für die Hilfe!