Question

Ein Schwimmbecken hat den in der Abbildung dargestellten Grundriss und ist mit Wasser bis zum Rand gefüllt.

Der Bereich zwischen den Funktionen \( f \) und \( g \) hat eine Tiefe von \( 1,20 \mathrm{~m} \). Die Abteilung zwischen \( g \) und \( h \) ist \( 2,50 \mathrm{~m} \) tief.

\( f(x)=-0.04 x^{2}+60 \)
\( g(x)=0,005 x^{2}+30 \)
\( \mathrm{h}(\mathrm{x})=-20 \)
\( x \) - wird in Metern (m) angegeben

a) Berechne die Größe der gesamten Wasseroberfläche (Runde die Schnittpunkte aut Ganze).

b) Berechne den Wasserbedarf in Liter, der zur Füllung des Beckens notwendig ist. \( V=G \cdot h \)

Answer 1

Auch wenn's für die Klausur zu spät ist:

Zunächst Berechnung der Schnittpunkte von f und g, also der Gernzen für die nachfolgende Integration:

$$f(x)=g(x)$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow 0,045{ x }^{ 2 }=30$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }=\frac { 30 }{ 0,045 } =666,\overline { 6 }$$$$\Leftrightarrow { x }=\pm \sqrt { 666,\overline { 6 }  } =\pm 26\quad (gerundet)$$

Berechnung des Oberflächeninhalts:

$$O=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-h(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(-20)dx }$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ 80-0,04{ x }^{ 2 }dx }$$$$={ \left[ 80x-{ \frac { 0,04 }{ 3 } x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } 26 }^{ 3 } \right) -\left( 80*(-26)-{ \frac { 0,04 }{ 3 } (-26 })^{ 3 } \right)$$$$=80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }+80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=160*26-{ \frac { 0,08 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=3691$$

Der Oberflächeninhalt beträgt also etwa 3691 m ².

Berechnung des Volumens, zunächst das Volumen V₁ des flachen Bereiches ( h₁ = 1,20 m). Dazu zunächst Berechnung der Oberflächeninhaltes G₁ in diesem Bereich:

$${ G }_{ 1 }=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-g(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(0,005{ x }^{ 2 }+30) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-0,005{ x }^{ 2 }-30 } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ 5x }^{ 2 }+30 } dx$$$$={ \left[ 30x-{ \frac { 0,045 }{ 3 } x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$={ \left[ 30x-{ 0,015x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 } \right) -\left( 30*(-26)-{ 0,015(-26) }^{ 3 } \right)$$$$=30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }+30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }$$$$=30*52-0,03*{ 26 }^{ 3 }$$$$=1033$$Daraus ergibt sich für das Volumen V₁:$$\Rightarrow { V }_{ 1 }={ G }_{ 1 }*{ h }_{ 1 }=1033*1,20=1240$$

Der flache Bereich hat also ein Volumen von 1240 m ³.

Nun zum Volumen V₂ des tiefen Bereichs ( h₂ = 2,50 m). Zunächst Berechnung des Oberflächeninhaltes:

$${ G }_{ 2 }=O-{ G }_{ 1 }=3691-1033=2658$$Daraus ergibt sich für das Volumen V₂:$$\Rightarrow { V }_{ 2 }={ G }_{ 2 }*{ h }_{ 2 }=2658*2,5=6645$$

Der tiefe Bereich hat also ein Volumen von 6645 m ³.

Insgesamt ergibt sich für das Volumen V des Schwimmbeckens:

$$V={ V }_{ 1 }+{ V }_{ 2 }=1240+6645=7885$$

Es werden also etwa 7885 m ³ Wasser benötigt, um das Becken zu füllen.