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Ich brauche eure hilfe. Hänge bei diesem Beispiel und hab morgen Klausur. 

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Auch wenn's für die Klausur zu spät ist:

Zunächst Berechnung der Schnittpunkte von f und g, also der Gernzen für die nachfolgende Integration:

$$f(x)=g(x)$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow -0,04{ x }^{ 2 }+60=0,005{ x }^{ 2 }+30$$$$\Leftrightarrow 0,045{ x }^{ 2 }=30$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }=\frac { 30 }{ 0,045 } =666,\overline { 6 }$$$$\Leftrightarrow { x }=\pm \sqrt { 666,\overline { 6 }  } =\pm 26\quad (gerundet)$$

Berechnung des Oberflächeninhalts:

$$O=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-h(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(-20)dx }$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ 80-0,04{ x }^{ 2 }dx }$$$$={ \left[ 80x-{ \frac { 0,04 }{ 3 } x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } 26 }^{ 3 } \right) -\left( 80*(-26)-{ \frac { 0,04 }{ 3 } (-26 })^{ 3 } \right)$$$$=80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }+80*26-{ \frac { 0,04 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=160*26-{ \frac { 0,08 }{ 3 } { 26 }^{ 3 } }$$$$=3691$$

Der Oberflächeninhalt beträgt also etwa 3691 m 2.

Berechnung des Volumens, zunächst das Volumen V1 des flachen Bereiches ( h1 = 1,20 m). Dazu zunächst Berechnung der Oberflächeninhaltes G1 in diesem Bereich:

$${ G }_{ 1 }=\int _{ -26 }^{ 26 }{ f(x)-g(x) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-(0,005{ x }^{ 2 }+30) } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ x }^{ 2 }+60-0,005{ x }^{ 2 }-30 } dx$$$$=\int _{ -26 }^{ 26 }{ -0,04{ 5x }^{ 2 }+30 } dx$$$$={ \left[ 30x-{ \frac { 0,045 }{ 3 } x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$={ \left[ 30x-{ 0,015x }^{ 3 } \right]  }_{ -26 }^{ 26 }$$$$=\left( 30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 } \right) -\left( 30*(-26)-{ 0,015(-26) }^{ 3 } \right)$$$$=30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }+30*26-{ 0,015*26 }^{ 3 }$$$$=30*52-0,03*{ 26 }^{ 3 }$$$$=1033$$Daraus ergibt sich für das Volumen V1:$$\Rightarrow { V }_{ 1 }={ G }_{ 1 }*{ h }_{ 1 }=1033*1,20=1240$$

Der flache Bereich hat also ein Volumen von 1240 m 3.

Nun zum Volumen V2 des tiefen Bereichs ( h2 = 2,50 m). Zunächst Berechnung des Oberflächeninhaltes:

$${ G }_{ 2 }=O-{ G }_{ 1 }=3691-1033=2658$$Daraus ergibt sich für das Volumen V2:$$\Rightarrow { V }_{ 2 }={ G }_{ 2 }*{ h }_{ 2 }=2658*2,5=6645$$

Der tiefe Bereich hat also ein Volumen von 6645 m 3.

Insgesamt ergibt sich für das Volumen V des Schwimmbeckens:

$$V={ V }_{ 1 }+{ V }_{ 2 }=1240+6645=7885$$

Es werden also etwa 7885 m 3 Wasser benötigt, um das Becken zu füllen.

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