Aufgabe:
Wir betrachten für \( \mu \in \mathbb{C} \) und \( x \in[0,1] \) das homogene Rand-Eigenwertproblem
\( \begin{array}{c} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\mu y, \\ y(0)=0, \quad y(1)=0 . \end{array} \)
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Rand-Eigenwertproblems.
b) Überprüfen Sie, ob die Eigenfunktionen orthogonal bezüglich des Skalarproduktes
\( \langle f, g\rangle:=\int \limits_{0}^{1} f(x) g(x) e^{-2 x} \mathrm{~d} x \)
sind.
Ansatz zu a):
$$y’’ - 2y’ + y = \mu y\\ r^2 - 2r + 1 - \mu = 0 \\ r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1 - \mu)}}{2} = 1 \pm \sqrt{\mu} $$
- Für \(\mu > 1\): \(y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
- Für \(\mu = 1\): \(y(x) = (C_1 + C_2x) e^x\)
- Für \(\mu < 1\): \(y(x) = ? vermutlich irgendwas mit i ?
Ab hier komme ich dann nicht mehr weiter und bin mir schon nicht sicher ob der Anfang so stimmt.
