Extremstelle e-Funktion mit Sinus

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe die Ableitung berechnet:

f´(x)= -e^x*sin(x) + e^x*cos(x)

aber wenn ich es null setze, weiß ich nicht, wie ich x berechnen soll:

Comments

f´(x) ≠ -e^x*sin(x) + e^x*cos(x)

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Ouh stimmt, die Ableitung lautet:

e^x*sin(x)+e^x*cos(x) = 0

Answer 1

Ausklammern, Satz vom Nullprodukt, Dividieren durch cos, arctan anwenden.

Comments

also 0 = e^x(-sin(x)+cos(x))

e^x kann nicht 0 sein,

-sin(x)+cos(x) = 0

wie kann ich danach durch cos dividieren?

bzw. was passiert dadurch?

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Probier's doch aus. Ist ungefährlich, es kann nichts passieren.

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Ja, das geänderte Vorzeichen ändert aber nichts am Vorgehen.

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sin(x)+cos(x)=0

wenn ich jetzt durch cos teile

steht sin(x)/cos(x) = 1

also tan(x)=1

dann arctan..

danke!

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Nein. Wie rechnet man $\frac{a+b}c$?

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a/c + b/c

so?

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Ja, genau so.

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also

sin(x)/cos(x) + cos(x)/cos(x) = 0

also sin(x)/cos(x) + 1 = 0

sin(x)/cos(x) = -1

also tan(x) = -1 ?

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Ja genau. Kannst Du daraus nun x bestimmen? Es gibt unendlich viele Lösungen, aber es geht ja nur um den ersten HP im ersten Quadranten.

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Ah okay danke.

Ich habe das dann berechnet mit

arctan(-1) + k*pi

wir hatten nie arctan im Unterricht.

Die Aufgabe sollte anscheinend mit der Intervallhalbierung gerechnet werden,

allerdings weiß ich nicht wie diese geht.

Danke fürs erklären der Methode mit tan

:)

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Ja. Die Frage ist halt, für welche $x$ ist $\tan x=-1$? Ohne $\arctan$ zu erwähnen, kommt man darauf, dass das für $x=-\frac\pi2$ der Fall ist (Gegenkathete/Ankathete = 1 heißt gleichschenkliges Dreieck, also $45^\circ$, dann noch das minus davor, und für Bogenmaß umwandeln in $-\frac\pi2$).

Answer 2

Aloha :)

Dir ist ein kleiner Vorzeichenfehler passiert:$$f(x)=\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{e^x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}+\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}=e^x(\sin x+\cos x)$$

Gesucht sind die kritischen Punkte von $f'(x)$ im ersten Quadranten. Da $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb R$ kann nur die Klammer zu Null werden:$$0\stackrel!=\sin(x)+\cos(x)=\sqrt2\left(\sin(x)\cdot\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\cdot\cos(x)\right)$$$$\phantom0=\sqrt2\left(\sin(x)\cdot\cos\left(\frac\pi4\right)+\sin\left(\frac\pi4\right)\cdot\cos(x)\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)$$

Die Nullstellen der Sinusfunktion sind alle ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:$$x+\frac\pi4=\mathbb Z\cdot\pi\quad\implies\quad x=\mathbb Z\cdot\pi-\frac\pi4\quad\implies\quad x=\frac{\pi}{4}\left(4\,\mathbb Z-1\right)$$

Die erste Extremstelle im ersten Quadranten liegt daher bei $x_1=\frac{3\pi}{4}$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^x·sin(x)P(3π/4|e^(3π/4)·sin(3π/4))Zoom: x(-4…4) y(-2…8)

Die Prüfung der Extremstelle durch Einsetzen von $x_1=\frac{3\pi}{4}$ in die zweite Ableitung habe ich mir gespart. Falls du möchtest, kannst du diesen Nachweis noch erbringen.

Answer 3

Eine Alternative:

$f(x)=e^{x}sin(x)$

$f'(x)=e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x)$

$e^{x}sin(x) +e^{x}cos(x) = 0$ 

$e^{x}sin(x) = -e^{x}cos(x) |^{2}$

$e^{2x}sin^{2}(x) = e^{2x}cos^{2}(x)$       Weiter mit      $cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x)$ :

$e^{2x}sin^{2}(x) = e^{2x}(1-sin^{2}(x) )$ 

$e^{2x}sin^{2}(x) - e^{2x}(1-sin^{2}(x) )=0$

$e^{2x}(sin^{2}(x) - 1+sin^{2}(x) )=0$       Weiter mit Satz vom Nullprodukt :

$e^{2x}≠0$ 

$sin^{2}(x) - 1+sin^{2}(x) =0$ 

$sin^{2}(x) =\frac{1}{2} |±\sqrt{~~}$

1.) $sin(x) =\frac{1}{2} \sqrt{2}$

$x=2kπ + \frac{3}{4}π$

Mit $k=0$:

$x= \frac{3}{4}π$     $f(\frac{3}{4}π)=e^{\frac{3}{4}π}sin(\frac{3}{4}π)≈7,46$

2.) $sin(x) =-\frac{1}{2} \sqrt{2}$   wird nicht mehr benötigt.