Integral berechnen durch Substitution

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 13.3 Berechnen Sie unter Verwendung der angegebenen Substitution die folgenden Integrale:
(a) $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x$, setzen Sie $t=\sin (x)$
(b) $\int \limits_{0}^{1} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, setzen Sie $x=t^{2}$
(c) $\int \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, setzen Sie $x=t^{2}$
(d) $\int x^{2} \sqrt{2 x-5} \mathrm{~d} x$, setzen Sie $x=\frac{1}{2}\left(t^{2}+5\right)$

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Früher musste man die Substitution noch selbst finden...

Answer 1

$\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x$

$t=\sin (x)$ ==>   $\frac{dt}{dx}=\cos(x)$  ==>    $dx = \frac{dt}{\cos(x)}$

Und erst mal ohne Grenzen gibt es

$\int \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x = \int \frac{\cos (x)}{1+t^{2}} \frac{dt}{\cos(x)} = \int \frac{1}{1+t^{2}} dt$

$= \arctan(t) + C = \arctan(\sin(x)) + C$.

==> $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x =[ \arctan(\sin(x)) ]_0^{\frac{\pi}{4}}=\arctan(\frac{\sqrt{2}}{2})$ ≈ 0,615