Ist f(x) in Q[x] irreduzibel?

Question

Sei f(x) = x³-x -a mit a ∈ N ungerade. Ist f(x) in Q[x] irreduzibel?

Als erstes würde ich (mod 2) rechnen. Dann habe ich ja x³-x-1 bzw. x³+x+1.
Darf man jetzt nochmal mod anwenden? Oder wie löse ich das nun. Weil sonst würde ich nochmal (mod 3) rechnen und hätte x³+2x+2 und das zu lösen ist ja einfach (p=2 mit Eisenstein)

Answer 1

betrachte f(x) in F₂[x] da ist es wie du gesagt hast x³-x-1, Polynome von grad 3 sind irreduzibel wenn sie keine Nullstelle besitzen und hier ist f(0)=-1=1 und f(1)=-1 damit hat f(x) keine Nst und ist irreduzibel in F₂[x]. Damit ist es aber auch in Z[x]  irreduzibel und nach dem Lemma von Gauß in Q[x].

Comments

Danke dir! <3

Answer 2

Wäre es reduzibel, dann hätte einen Faktor mit Grad=1

also hätte es eine Nullstelle in Q und wegen Leitkoeffizient 1

wäre die sogar in ℤ.

Damit gäbe es ein n∈ℤ mit  n³ - n - a = 0

<=>  n*(n² - 1 ) = a.

Wäre n gerade, dann wäre auch a gerade. Widerspruch!

Wäre n ungerade, dann auch n² ungerade, also n²-1

gerade also n*(n²-1) auch gerade, also a gerade. Widerspruch!

Somit f irreduzibel.