Allgemeine Lösung eines Gleichungssystems bestimmen.

Question

Aufgabe:

Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.

\( \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & -2\end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} -2\\-4\\0 \end{pmatrix} \)

Es soll in der allgemeinen Lösungsform x→ = x_s + tx₀ in abhängiiigkeit des parameters t wobei x3=t ist.

x→ = \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \) + t*\( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich hatte noch nie mit einer nicht eindeutigen Lösung zutun. Also bitte, wenn ihr nur die Lösung reinschreiben wollt spart euch eure Zeit.

Ich suche eine Erklärung. Je idiotensicherer und kleinschrittiger desto besser.

Comments

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Answer 1

2·x + 2·y = -2
- 2·x + 1·y + 6·z = -4
2·x + 1·y - 2·z = 0

II + I ; III + II

2·x + 2·y = -2
3·y + 6·z = -6
2·y + 4·z = -4

III ist linear abhängig zu II und kann gestrichen werden. Setze jetzt z.B. z = t

3·y + 6·t = -6 --> y = - 2·t - 2

2·x + 2·(- 2·t - 2) = -2 --> x = 2·t + 1

Damit ist die Lösung

[x, y, z] = [2·t + 1, - 2·t - 2, t] = [1, -2, 0] + t·[2, - 2, 1]